Metoda obrazów – wyjaśnienie i rozwiązanie zadania T2 z cz. 1 72 Olimpiady Fizycznej

Metoda obrazów to sprytna technika, która znacząco upraszcza rozwiązywanie wielu problemów elektrostatyki (i nie tylko).
Nazywamy ją tak ponieważ polega na tworzeniu 'lustrzanego odbicia ładunku’ na powierzhni idealnego przewodnika. Wykorzystuje się ją zarówno na poziomie akademickim jak i na poziomie Olimpiady Fizycznej (OF) oraz Olimpiady międzynarodowej z Fizyki (IPHO). W niniejszym artykule wyjaśnie skąd się bierze metoda obrazów, pokarze standardowe przykłady metody obrazów a następtnie pokaże jak zastosować metodę obrazów na przykładzie zadania T2 z II części pierwszego etapu 72 Olimpiady Fizycznej

Ponieważ jest bardzo trikowa i nie wiąże się ze skomplikowanymi obliczeniami używanie jej jest czystą przyjemnością. ???? Nie przedłużajmy więc wstępu i odpowiedzmy na pytanie czym jest metoda obrazów?

Czym jest metoda obrazów?

Wiemy, że ciała naładowane oddziałują ze sobą elektrostatycznie. Czy ciało naładowane może oddziaływać z ciałem neutralnym? Jakkolwiek dziwnie by to nie brzmiało – okazuje się, że TAK! Wyobraźmy sobie ładunek punktowy umieszczony w pobliżu idealnie przewodzącej uziemionej kuli. 

Ładunki wewnątrz idealnie przewodzącej kuli mogą się przemieszczać swobodnie. Ponadto z uziemienia ładunki mogą wpływać na kulę w dowolnej ilości. Motywacją dla przepływu ładunków jest różnica potencjałów – napięcie. Zatem ładunki będą wpływać na sferę tak długo, aż potencjał kuli nie zrówna się z potencjałem uziemienia . Oznacza to, że w pobliżu zewnętrznego dodatniego ładunku zgromadzi się sporo ładunków ujemnych, natomiast po drugiej stronie kuli zgromadzi się nieco mniej ładunków ujemnych.

Profesjonalnie możemy powiedzieć, że na kuli wyidukował się pewien rozkład ładunków. Dodatkowa uwaga: zwróć uwagę, że gdyby kula nie była uziemiona – zdarzyło by się dokładnie to samo, jednak potencjał kuli nie byłby zerowy, a lewa strona kuli byłaby naładowana nieco dodatnio.

Zadanie obliczenia energii oddziaływania elektrostatycznego kuli i ładunku, lub wartości tego oddziaływania (siły) wydaje się niezwykle skomplikowane. Tutaj właśnie cała na biało przychodzi Metoda obrazów. Metoda ta opiera się na stwierdzeniu, że aby wyznaczyć pole elektryczne pochodzące od ładunków wyindukowanych na przewodniku, możemy te ładunki zastąpić pewnymi ładunkami punktowymi w taki sposób, aby linie pola były prostopadłe do powierzchni przewodnika (lub równoważnie: w taki sposób, aby potencjał na powierzchni przewodnika był stały). Jakimi ładunkami punktowymi? To musimy zgadnąć. Na szczęście w wielu przypadkach takie zgadnięcie przyjdzie nam dość łatwo.

Najważniejsze o czym musimy pamiętać zgadując ładunki punktowe: pole elektryczne musi być zawsze prostopadłe do powierzchni przewodnika.

W jaki sposób zgadnąć ładunki?

Jeśli przewodnikiem jest duża płaszczyzna, to zgadniętym ładunkiem punktowym będzie zwykły lustrzany obraz ładunku indukującego. Stąd właśnie nazwa “Metoda obrazów”.

Rysunek przedstawia (po lewej) pole elektryczne pochodzące od dodatniego ładunku oraz od wyindukowanych ładunków na płaszczyźnie. Po prawej stronie natomiast widzimy pole elektryczne pochodzące od dwóch ładunków o przeciwnych znakach umieszczonych w równych odległościach od płaszczyzny. Jak widać pole elektryczne po prawej stronie płaszczyzny w obu przypadkach jest identyczne i spełnia warunek prostopadłości do powierzchni przewodnika. Jednak po lewej stronie płaszczyzny rozkłady pól różnią się. Prowadzi nas to do bardzo ważnego wniosku:

UWAGA: Metoda obrazów pozwala poprawnie odgadnąć pole elektryczne tylko w obszarze, w którym nie znajdują się ładunki obrazowe. 

Dlaczego metoda obrazów działa?

Pole elektryczne jest wyznaczone przez równanie różniczkowe – równanie Poissona: , gdzie to potencjał elektyczny a to gęstość ładunku. Rozwiązanie tego równania jest jednoznaczne. To znaczy, że istnieje tylko jedno rozwiązanie tego równania dla określonych warunków brzegowych. Przez warunki brzegowe rozumiemy tutaj informacje co ma się dziać z polem na granicach rozważanego obszaru. Potencjał ma znikać w nieskończoności oraz być zerowy na powierzchniach uziemionych przewodników. Jeśli uda nam się je odgadnąć to uwolnimy się od potrzeby rozwiązywania skomplikowanego równania. Metoda obrazów to właśnie sprytne narzędzie umożliwiające nam zgadywanie.

A co jeśli przewodnik nie będzie nieskończoną płaszczyzną?

Wtedy musimy kombinować. Jeśli przewodnik składa się z kilku nieskończonych płaszczyzn to zwykle możemy wygłówkować rozwiązanie. Jeśli przewodnik jest kulą to istnieje wzór na metodę obrazów w tym przypadku. Jego wyprowadzenie w wydaniu prof. Krzysztofa Turzyńskiego krok po kroku możesz znaleźć w tym filmie:

W pozostałych przypadkach metoda obrazów może nie być najlepszym narzędziem.

Podsumowanie metody obrazów:

Metoda obrazów umożliwia odgadnięcie pola elektrycznego pochodzącego od ładunków wyindukowanych na uziemionym przewodniku. Odgadnięte pole musi spełniać odpowiednie warunki brzegowe tzn. być prostopadłe do powierzchni przewodników. Metoda obrazów działa tylko w obszarze w którym nie znajdują się obrazowe ładunki.

Rozwiązanie zadania T2 z 72 Olimpiady Fizycznej

Myślę, że dość wyczerpująco przeanalizowaliśmy teorię dotyczącą metody obrazów. Spróbujmy teraz zastosować ją w praktyce rozwiązując zadanie T2 z 72 Olimpiady fizycznej. Oto jego treść:

W pobliżu nieskończonej metalowej płyty znajduje się cienki, sztywny, jednorodny pręt o długości , na końcach którego umieszczone są dwie małe kulki o masie m każda, naładowane ładunkami: oraz . Środek pręta jest zamocowany w stałej odległości od płyty, ale pręt może się swobodnie obracać wokół tego punktu zamocowania, patrz rysunek.

Początkowo pręt był nieruchomy i równoległy do metalowej płyty. W wyniku małego odchylenia od położenia początkowego pręt zaczął się obracać w płaszczyźnie prostopadłej do płyty. Wyznacz prędkość kulek na końcach pręta w chwili, gdy będzie on prostopadły do płyty. Pomiń opory ruchu. Możesz przyjąć, że płyta jest idealnym przewodnikiem. Pręt i mocowanie jego środka nie ma wpływu na pole elektryczne. 

Wskazówka: patrz logo Olimpiady Fizycznej ilustrujące zastosowanie tzw. „metody obrazów” (zad 2. I st. cz. 2, LXVII Olimpiady Fizycznej).

Strategia rozwiązywania zadania

Obecność ładunków nad płaszczyzną spowoduje wyindukowanie się na niej rozkładu ładunków zapewniającego spełnienie warunków brzegowych. Zastosujmy metodę obrazów. Pole elektryczne nad metalową płytą będzie wyglądało tak, jakby wynikało z obecności dwóch ładunków rzeczywistych oraz dwóch ładunków będących ich obrazami. Najłatwiej będzie to zadanie ugryźć energetycznie. Policzymy energię w chwili początkowej i końcowej. Energia w tym układzie jest zachowana, porównamy więc energię na początku i na końcu otrzymując równanie na prędkość. Musimy jednak być bardzo ostrożni, by nie wpaść w pułapkę. Energia potencjalna oddziaływania ładunku ze swoim obrazem nie jest dana standardowym Kulombowskim wzorem!

Energia oddziaływania ładunku ze swoim ładunkiem obrazowym

Wyobraźmy sobie, że chcemy skonstruować układ dwóch ładunków o przeciwnych znakach i zastanawiamy się: ile energii będziemy w stanie zyskać z utworzenia takiego układu. Jeśli dwa ładunki znajdują się bardzo daleko od siebie, energia ich oddziaływania to 0. Przysuwajmy zatem oba ładunki symetrycznie do siebie. Ładunki będą się przyciągały, więc ich ruch będzie w stanie wykonać jakąś pracę.

Każdy z ładunków wykona taką samą pracę i ostatecznie całkowita wykonana praca będzie dana dobrze znanym nam wzorem:.

Rozważmy teraz analogiczną sytuację w której chcemy stworzyć układ ładunek + nieskończona sfera. Wizualnie sytuacja wygląda dokładnie tak samo: przysuwamy rzeczywisty ładunek ze stałą prędkością, a wirtualny ładunek przysuwa się symetrycznie.

Jednak z ruchu wirtualnego ładunku nie możemy wyciągnąć żadnej pracy. Tylko ładunek rzeczywisty wykonuje pracę. Będzie to dokładnie taka sama praca, jak w poprzedniej sytuacji z dwoma ładunkami rzeczywistymi – dlatego, że ładunek ma taką samą drogę do pokonania i w każdym momencie działa na niego taka sama siła jak w poprzednim przykładzie. Zatem energia potencjalna oddziaływania ładunku i jego obrazu to:

Czynnik możemy również argumentować zauważając, że energia potencjalna oddziaływania elektrycznego jest zawarta w polu elektrycznym. Gęstość energii pola elektrycznego (energia na jednostkę objętości) to , a patrząc na rysunek 3 wyraźnie widzimy, że w przypadku ładunku oddziałującego z płytą mamy dokładnie o połowę pola mniej niż w analogicznym przypadku oddziaływania dwóch ładunków rzeczywistych.

A co gdy pojawi się więcej ładunków?

Jeśli chcielibyśmy dołożyć (przysunąć z nieskończoności) do tego układu jeszcze jeden ładunek, to będzie on oddziaływał: z pierwszym ładunkiem rzeczywistym, z jego obrazem oraz ze swoim obrazem. Zauważmy, że nie ma znaczenia co oddziałuje na obraz drugiego ładunku ponieważ nie wykona on żadnej pracy.

Zatem energia oddziaływania takiego układu to: . Można by powiedzieć, że to rozwiązanie jest nie fair, ponieważ ładunek oddziałuje zarówno ze swoim obrazem jak i z obrazem ładunku , natomiast ładunek oddziałuje tylko ze swoim obrazem. Ta asymetria jest tylko pozorna ponieważ . Możemy zatem zapisać i przyjąć, że zawsze kiedy zapisujemy oddziaływanie ładunku rzeczywistego z pozornym musimy zapisać czynnik . Ponadto z powyższego rozumowania możemy zauważyć, że ładunki pozorne ze sobą nie oddziałują.

Sytuacja początkowa

Na rysunku obok przedstawiam rozkład ładunków  w sytuacji początkowej, znaleziony za pomocą metody obrazów. Cała energia w tym układzie jest zgromadzona pod postacią energii potencjalnej.

Sytuacja końcowa

Energia końcowa w tym układzie składa się częściowo z energii potencjalnej oddziaływania elektrostatycznego, ale również z energii kinetycznej. To właśnie w energii kinetycznej kryje się cenna prędkość którą chcemy wyznaczyć. Zwróć uwagę, że ładunki obrazowe nie mają energii kinetycznej. Energia całkowita w sytuacji końcowej wynosi:

Zasada zachowania energii 

Porównując energię początkową do końcowej dostajemy:

co po drobnych uproszczeniach prowadzi do ostatecznego wyniku 

Hard way  – metoda obrazów + natężenie pola elektrycznego

To zadanie można również próbować obliczyć sumując małe prace jakie wykonało pole elektryczne nad ładunkami w trakcie obrotu. Jednak ta metoda prowadzi do potwornych obliczeń. Z szacunku dla twoich oczu pominę to wyprowadzenie.

Podobne zadania wykorzystujące metodę obrazów

Zadań wykorzystujących metodę obrazów na Olimpiadzie Fizycznej można znaleźć całą masę, poniżej prezentuję kilka z nich:

• 45 Olimpiada Fizyczna etap 1 cz. 2 zadanie T2
• 59 Olimpiada Fizyczna etap 1 cz. 2 zadanie T3 
• Międzynarodowa Olimpiada Fizyczna 2010 zadanie 1  
• 67 Olimpiada Fizyczna etap 1 cz 2 zadanie T2  
• 57 Olimpiada Fizyczna etap 3 zadanie T3 – to zadanie zasługuje moim zdaniem na szczególną uwagę ponieważ pokazuje zastosowanie metody obrazów poza elektrostatyką.

Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej o metodzie obrazów – te linki mogą okazać się dla Ciebie przydatne:

• Subtleties on energy calculations in the image method
• Metoda obrazów – wikipedia
• Film z wyprowdzeniem metody obrazów dla sfery  

Jeśli chciałbyś dowiedzieć się więcej o Metodzie obrazów lub przygotować się do Olimpiady Fizycznej zerknij na naszą ofertę korepetycji olimpijskich. Natomiast jeśli masz pytania dotyczące artykułu, bądź uważasz że mógłbym rozbudować jakąś myśl – daj mi znać w komentarzu. 🙂