Chciałbym pokazać Ci rozwiązanie zadania T3 z I etapu 72 Olimpiady Fizycznej. Jest to typowe zadanie z termodynamiki, które można spotkać na Olimpiadzie Fizycznej. Myślę, że było to najprostsze zadanie teoretyczne na tym etapie Olimpiady. Wymagało ono wiedzy na temat przemiany adiabatycznej i metody energetycznej w mechanice. Co więcej, zadanie to nie zawierało żadnych pułapek – no może poza jednym drobnym haczykiem. Nie mniej jednak uważam rozwiązanie tego zadania za wartościowe, ponieważ wiele zadań z termodynamiki na Olimpiadzie Fizycznej opiera się na tym samym schemacie rozumowania. Przejdźmy do treści:
Treść zadania T3 z 72 Olimpiady Fizycznej:
Wewnątrz bardzo długiego cylindra znajdują się dwa szczelne tłoki o masach m1 i m2 oraz polu przekroju . Między nimi jest zamknięta pewna ilość gazu.
Początkowa odległość między tłokami wynosiła ; tłok 1 spoczywał, a tłok 2 poruszał się z pewną (nieznaną) prędkością
w kierunku tłoka 1. Początkowe ciśnienie gazu między tłokami było równe ciśnieniu zewnętrznemu
, a początkowa temperatura wynosiła
. Gaz jest gazem doskonałym o molowym cieple właściwym
. Przyjmując, że tłoki ani cylinder nie pobierają ciepła od gazu, oraz że sprężanie oraz rozprężanie gazu pomiędzy tłokami zachodzi w sposób odwracalny i wiedząc, że minimalna odległość między tłokami wyniosła
, wyznacz prędkość
. Pomiń opór aerodynamiczny związany z ruchem tłoków i tarcie tłoków o ścianki cylindra oraz masę gazu w porównaniu z masą tłoków.
Wstępna analiza zadania
W treści zadania podano kilka przybliżeń, które możemy przyjąć. Wypunktujmy je i zastanówmy się jak mogą nam pomóc podczas rozwiązywania zadania.
- sprężanie oraz rozprężanie gazu pomiędzy tłokami zachodzi w sposób odwracalny” – to zdanie sugeruje, że mamy do czynienia z przemianą termodynamiczną ,w której w każdym momencie ewolucji ciśnienie i temperatura gazu są dobrze określone. Tan warunek wydaje się oczywisty, jednak nie we wszystkich zadaniach z termodynamiki na Olimpiadzie Fizycznej jest on spełniony. Oto przykład.
- “ tłoki ani cylinder nie pobierają ciepła od gazu” – to z kolei oznacza, że mamy do czynienia z przemianą adiabatyczną.
- “minimalna odległość między tłokami wyniosła
” – to jest bardzo poważna informacja! Pozwala nam ustalić jaką objętość ma gaz pomiędzy tłokami w chwili końcowej, Może nam również posłużyć do wyznaczenia drogi jaką pokonały tłoki.
- “Pomiń opór aerodynamiczny związany z ruchem tłoków i tarcie tłoków o ścianki cylindra” – Skoro nie ma strat energii związanych z ruchem i ciepło nie ucieka z naszego układu – oznacza to że, spełniona jest zasada zachowania energii! To bardzo dobra informacja 🙂
- “[pomiń] masę gazu w porównaniu z masą tłoków” – to oznacza, że możemy zaniedbać pęd oraz energię kinetyczną gazu.
Już sam przegląd przyjętych przybliżeń i zastanowienie się jak potencjalnie moglibyśmy je wykorzystać – sugeruje nam metodę rozwiązania. Korzystając z zasady zachowania energii oraz zasady zachowania pędu (mamy przecież do czynienia ze swoistym zderzeniem tłoków, w izolowanym układzie) możemy stworzyć układ równań, który da nam możliwość wyznaczenia prędkości .
Energia wewnętrzna gazu
Do zapisania zasady zachowania energii będziemy musieli zapisać energię wewnętrzną gazu: , co dzięki równaniu Clapeyrona
możemy zapisać w znacznie przyjaźniejszej postaci:
. Ustaliliśmy już, że przemiana jest adiabatyczna, więc możemy wykorzystać równanie
, gdzie
to stosunek ciepła molowego przy stałym ciśnieniu do ciepła molowego przy stałej objętości
.
Wpływ ciśnienia zewnętrznego
Musimy zastanowić się, czy ciśnienie gazu na zewnątrz tłoków ma jakiś wpływ na nasz układ? Oczywiście, że ma! Przykładowo – jeśli chcemy oddalić od siebie tłoki – musimy wykonać pracę przeciwko sile związanej z ciśnieniem zewnętrznym. Oznacza to, że zwiększenie objętości gazu między tłokami wiąże się z pracą . Szybko stąd możemy wywnioskować, że całkowita energia zgromadzona w układzie (w związku z obecnością ciśnienia zewnętrznego) to
, gdzie
to objętość gazu między tłokami. To jest właśnie ten drobny haczyk, o którym wspominałem na początku artykułu. “Ukrycie” jakiegoś rodzaju energii jest popularną pułapką pojawiającą się w zadaniach z termodynamiki na Olimpiadzie Fizycznej (termodynamiki i nie tylko). Podczas III etapu 65 OF’a sam prawie połknąłem taki haczyk, nie uwzględniając energii zgromadzonej w baterii w bilansie energetycznym.
Z tak wyczerpującą analizą – myślę, że śmiało możemy przejść do analizy sytuacji początkowej.
Sytuacja początkowa
Jak zawsze analizę zaczniemy od rysunku. Szczęśliwie sytuacja początkowa została bardzo dobrze zdefiniowana w treści zadania. Pęd w tym układzie to , aby zapisać zasadę zachowania energii ustalmy w jakich postaciach gromadzona jest energia w tym układzie:
- Energia kinetyczna drugiego tłoka
- Energia wewnętrzna gazu
- Energia związana z zewnętrznym ciśnieniem
Podsumowując, całkowita energia początkowa wynosi
Sytuacja końcowa
Sytuację końcową również przedstawmy na rysunku. Pęd w tym momencie to . Natomiast na energię układu składają się:
- Energia kinetyczna pierwszego tłoka
- Energia kinetyczna drugiego tłoka
- Energia związana z zewnętrznym ciśnieniem
- Energia wewnętrzna gazu
Brakuje nam tylko ciśnienia gazu między tłokami . Możemy je obliczyć wiedząc, że przemiana jakiej podlegał ten gaz była adiabatyczna
. Co prowadzi nas do:
. Podsumowując, całkowita energia na końcu wynosi:
To już wszystko, prawda?
Co definiuje sytuację końcową?
NIE! Zastanówmy się, co wie nasz układ równań? Wie, że energia i pęd są zachowane w trakcie całej ewolucji układu. Porównujemy te wielkości między pewnym momentem, który nazywamy początkowym i momentem, który nazywamy końcowym. Czy nasz układ wie czym jest moment końcowy? Przecież równania jakie zapisaliśmy mogliśmy zapisać dla sytuacji początkowej i dowolnego pośredniego momentu ruchu (Spróbuj zapisać ZZE i ZZP między chwilą początkową a pewną dowolną chwilą pośrednią).
Musimy znaleźć jakiś dodatkowy warunek mówiący, że punkt końcowy to moment największego zbliżenia tłoków. Tylko jaki to może być warunek? Popatrzmy jak wyglądałby ruch pierwszego tłoka z punktu widzenia drugiego. Początkowo tłok 1 przybliża się do nas z prędkością . Prędkość zbliżania maleje. W pewnym momencie tłok 1 zatrzymuje się, a po chwili zaczyna się oddalać. Moment największego zbliżenia to moment w którym tłok 1 spoczywał z punktu widzenia tłoku 2. Z punktu widzenia ziemi (laboratorium) ten moment to moment zrównania się prędkości obu tłoków
. I to właśnie ten brakujący warunek.
Część matematyczna zdania
Ostatecznie otrzymujemy układ trzech równań z trzema niewiadomymi ,
,
.
Wykorzystując ostatnie równanie – układ upraszcza się do postaci:
Ostateczne rozwiązanie to:
Podobne zadania z termodynamiki na Olimpiadzie Fizycznej
Jak wspomniałem na początku artykułu – to zadanie nie jest oderwane od pozostałych zadań z Olimpiady Fizycznej. Pojawiały się w przeszłości podobne zadania, poniżej przedstawiam kila z nich.
- Zadanie T2 z II etapu 56 Olimpiady Fizycznej. Zawiera niemal dokładnie taki sam układ jaki rozważaliśmy powyżej.
- Zadanie T3 z II etapu 61 Olimpiady Fizycznej. Opiera się na wykorzystaniu zasady zachowania energii w sytuacji mechaniczno-termodynamicznej.
- Zadanie T2 z III etapu 58 Olimpiady Fizycznej. To zadanie jest bardzo różne od rozważanego zadania, jednak zawiera dokładnie ten sam haczyk – energię związaną z ciśnieniem zewnętrznym.
Jeśli chciałbyś dowiedzieć się więcej o termodynamice lub przygotować się do Olimpiady Fizycznej zerknij na naszą ofertę korepetycji olimpijskich. Jeśli masz pytania dotyczące artykułu, bądź uważasz, że mógłbym rozbudować jakąś myśl – daj mi znać w komentarzu. 🙂