Olimpiada Fizyczna, Rozwiązania zadań

Zadania z termodynamiki na Olimpiadzie Fizycznej na przykładzie zadania T3 z 72 Olimpiady Fizycznej et. I

Chciałbym pokazać Ci rozwiązanie zadania T3 z I etapu 72 Olimpiady Fizycznej. Jest to typowe zadanie z termodynamiki, które można spotkać na Olimpiadzie Fizycznej. Myślę, że było to najprostsze zadanie teoretyczne na tym etapie Olimpiady. Wymagało ono wiedzy na temat przemiany adiabatycznej i metody energetycznej w mechanice. Co więcej, zadanie to nie zawierało żadnych pułapek – no może poza jednym drobnym haczykiem. Nie mniej jednak uważam rozwiązanie tego zadania za wartościowe, ponieważ wiele zadań z termodynamiki na Olimpiadzie Fizycznej opiera się na tym samym schemacie rozumowania. Przejdźmy do treści:

Treść zadania T3 z 72 Olimpiady Fizycznej:

Wewnątrz bardzo długiego cylindra znajdują się dwa szczelne tłoki o masach m1 i m2 oraz polu przekroju S. Między nimi jest zamknięta pewna ilość gazu.

Rysunek z treści zadania T2 z 72 Olimpiady fizyczne (etap I) - zadanie z termodynamiki na olimpiadzie fizycznej.

Początkowa odległość między tłokami wynosiła L_0; tłok 1 spoczywał, a tłok 2 poruszał się z pewną (nieznaną) prędkością v_2 w kierunku tłoka 1. Początkowe ciśnienie gazu między tłokami było równe ciśnieniu zewnętrznemu p_0, a początkowa temperatura wynosiła T_0. Gaz jest gazem doskonałym o molowym cieple właściwym C_V. Przyjmując, że tłoki ani cylinder nie pobierają ciepła od gazu, oraz że sprężanie oraz rozprężanie gazu pomiędzy tłokami zachodzi w sposób odwracalny i wiedząc, że minimalna odległość między tłokami wyniosła L_{min}, wyznacz prędkość v_2. Pomiń opór aerodynamiczny związany z ruchem tłoków i tarcie tłoków o ścianki cylindra oraz masę gazu w porównaniu z masą tłoków. 

Wstępna analiza zadania

W treści zadania podano kilka przybliżeń, które możemy przyjąć. Wypunktujmy je i zastanówmy się jak mogą nam pomóc podczas rozwiązywania zadania.

  • sprężanie oraz rozprężanie gazu pomiędzy tłokami zachodzi w sposób odwracalny” – to zdanie sugeruje, że mamy do czynienia z przemianą termodynamiczną ,w której w każdym momencie ewolucji ciśnienie i temperatura gazu są dobrze określone. Tan warunek wydaje się oczywisty, jednak nie we wszystkich zadaniach z termodynamiki na Olimpiadzie Fizycznej jest on spełniony. Oto przykład.      
  • “ tłoki ani cylinder nie pobierają ciepła od gazu” – to z kolei oznacza, że mamy do czynienia z przemianą adiabatyczną.
  • “minimalna odległość między tłokami wyniosła L_{min} – to jest bardzo poważna informacja! Pozwala nam ustalić jaką objętość ma gaz pomiędzy tłokami w chwili końcowej, Może nam również posłużyć do wyznaczenia drogi jaką pokonały tłoki.
  • “Pomiń opór aerodynamiczny związany z ruchem tłoków i tarcie tłoków o ścianki cylindra” – Skoro nie ma strat energii związanych z ruchem i ciepło nie ucieka z naszego układu – oznacza to że, spełniona jest zasada zachowania energii! To bardzo dobra informacja 🙂
  • [pomiń] masę gazu w porównaniu z masą tłoków” – to oznacza, że możemy zaniedbać pęd oraz energię kinetyczną gazu.

Już sam przegląd przyjętych przybliżeń i zastanowienie się jak potencjalnie moglibyśmy je wykorzystać – sugeruje nam metodę rozwiązania. Korzystając z zasady zachowania energii oraz zasady zachowania pędu (mamy przecież do czynienia ze swoistym zderzeniem tłoków, w izolowanym układzie) możemy stworzyć układ równań, który da nam możliwość wyznaczenia prędkości v_2.

Energia wewnętrzna gazu

Do zapisania zasady zachowania energii będziemy musieli zapisać energię wewnętrzną gazu: E_w=c_v n T, co dzięki równaniu Clapeyrona pV=nRT możemy zapisać w znacznie przyjaźniejszej postaci: E_w=\frac{c_v}{R}pV. Ustaliliśmy już, że przemiana jest adiabatyczna, więc możemy wykorzystać równanie pV^{\gamma}=\textrm{const.}, gdzie \gamma to stosunek ciepła molowego przy stałym ciśnieniu do ciepła molowego przy stałej objętości \gamma=\frac{c_p}{c_v}=1+\frac{R}{c_v}

Wpływ ciśnienia zewnętrznego

Musimy zastanowić się, czy ciśnienie gazu na zewnątrz tłoków ma jakiś wpływ na nasz układ? Oczywiście, że ma! Przykładowo – jeśli chcemy oddalić od siebie tłoki – musimy wykonać pracę przeciwko sile związanej z ciśnieniem zewnętrznym. Oznacza to, że zwiększenie objętości gazu między tłokami wiąże się z pracą W=p_0\Delta V. Szybko stąd możemy wywnioskować, że całkowita energia zgromadzona w układzie (w związku z obecnością ciśnienia zewnętrznego) to E_p=P_0 V, gdzie V to objętość gazu między tłokami. To jest właśnie ten drobny haczyk, o którym wspominałem na początku artykułu. “Ukrycie” jakiegoś rodzaju energii jest popularną pułapką pojawiającą się w zadaniach z termodynamiki na Olimpiadzie Fizycznej (termodynamiki i nie tylko). Podczas III etapu 65 OF’a sam prawie połknąłem taki haczyk, nie uwzględniając energii zgromadzonej w baterii w bilansie energetycznym.

Z tak wyczerpującą analizą – myślę, że śmiało możemy przejść do analizy sytuacji początkowej.

Sytuacja początkowa

Sytuacja początkowa w zadaniu T2 z 72 Olimpiady Fizycznej (etap I)
Sytuacja początkowa w zadniu T2 z 72 Olimpiady Fizycznej (I etap) - Zadanie z termodynamiki na olimpiadzie fizycznej.

Jak zawsze analizę zaczniemy od rysunku. Szczęśliwie sytuacja początkowa została bardzo dobrze zdefiniowana w treści zadania. Pęd w tym układzie to p_{pocz}=m_2 v_2, aby zapisać zasadę zachowania energii ustalmy w jakich postaciach gromadzona jest energia w tym układzie:

  • Energia kinetyczna drugiego tłoka E_{k2}=\frac{m_2v_2^2}{2}
  • Energia wewnętrzna gazu E_w=\frac{c_v}{R}pV=\frac{c_v}{R}p_0L_0S
  • Energia związana z zewnętrznym ciśnieniem E_p=p_0V=p_0L_0S

Podsumowując, całkowita energia początkowa wynosi E_{pocz}=\left(\frac{c_v}{R}+1\right)p_0L_0S+\frac{m_2v_2^2}{2}

Sytuacja końcowa

Sytuacja końcowa w zadaniu T2 z 72 Olimpiady Fizycznej (etap I)
Sytuacja końcowa w zadaniu T2 z 72 Olimpiady Fizycznej (etap I)

Sytuację końcową również przedstawmy na rysunku. Pęd w tym momencie to p_{koń}=m_1v_{1k}+m_2v_{2k}. Natomiast na energię układu składają się:

  • Energia kinetyczna pierwszego tłoka E_{k1}=\frac{m1v_{1k}}{2}
  • Energia kinetyczna drugiego tłoka E_{k2}=\frac{m2v_{2k}}{2}
  • Energia związana z zewnętrznym ciśnieniem E_p=p_0V=p_0L_{min}S
  • Energia wewnętrzna gazu E_w=\frac{c_v}{R}pV=\frac{c_v}{R}pL_{min}S

Brakuje nam tylko ciśnienia gazu między tłokami p. Możemy je obliczyć wiedząc, że przemiana jakiej podlegał ten gaz była adiabatyczna pV^{\gamma}=p_0V_0^{\gamma}. Co prowadzi nas do: p=p_0\left(\frac{V_0}{V}\right)^{\gamma}=p_0\left(\frac{L_0}{L_{min}}\right)^{\gamma}. Podsumowując, całkowita energia na końcu wynosi:

    \[E_{koń}=\frac{m_1v_{1k}^2}{2}+\frac{m_2v_{2k}^2}{2}+p_0L_{min}S+\frac{c_v}{R}p_0\left(\frac{L_0}{L_{min}}\right)^{\gamma}L_{min}S\]

To już wszystko, prawda?

Co definiuje sytuację końcową?

NIE! Zastanówmy się, co wie nasz układ równań? Wie, że energia i pęd są zachowane w trakcie całej ewolucji układu. Porównujemy te wielkości między pewnym momentem, który nazywamy początkowym i momentem, który nazywamy końcowym. Czy nasz układ wie czym jest moment końcowy? Przecież równania jakie zapisaliśmy mogliśmy zapisać dla sytuacji początkowej i dowolnego pośredniego momentu ruchu (Spróbuj zapisać ZZE i ZZP między chwilą początkową a pewną dowolną chwilą pośrednią).

Musimy znaleźć jakiś dodatkowy warunek mówiący, że punkt końcowy to moment największego zbliżenia tłoków. Tylko jaki to może być warunek? Popatrzmy jak wyglądałby ruch pierwszego tłoka z punktu widzenia drugiego. Początkowo tłok 1 przybliża się do nas z prędkością v_2. Prędkość zbliżania maleje. W pewnym momencie tłok 1 zatrzymuje się, a po chwili zaczyna się oddalać. Moment największego zbliżenia to moment w którym tłok 1 spoczywał z punktu widzenia tłoku 2. Z punktu widzenia ziemi (laboratorium) ten moment to moment zrównania się prędkości obu tłoków v_{1k}=v_{2k}. I to właśnie ten brakujący warunek. 

Część matematyczna zdania

Ostatecznie otrzymujemy układ trzech równań z trzema niewiadomymi v_2, v_{1k}, v_{2k}.

    \[\begin{cases} \left(\frac{c_v}{R}+1\right)p_0L_0S+\frac{m_2v_2^2}{2}=\frac{m1v_{1k}}{2}+\frac{m2v_{2k}}{2}+p_0L_{min}S+\frac{c_v}{R}p_0\left(\frac{L_0}{L_{min}}\right)^{\gamma}L_{min}S \\ m_2v_2=m_1v_{1k}+m_2v_{2k} \\ v_{1k}=v_{2k} \end{cases}\]

Wykorzystując ostatnie równanie – układ upraszcza się do postaci:

    \[\begin{cases} \left(\frac{c_v}{R}+1\right)p_0L_0S+\frac{m_2v_2^2}{2}=\frac{(m_1+m_2)v_{2k}^2}{2}+p_0L_{min}S+\frac{c_v}{R}p_0\left(\frac{L_0}{L_{min}}\right)^{\gamma}L_{min}S \\ \frac{m_2}{m_1+m_2} v_2=v_{2k}\end{cases}\]

Ostateczne rozwiązanie to:

    \[v_2=\sqrt{2p_0S\frac{m_1+m_2}{m_1m_2}\left[\left(\left(\frac{L_0}{L_{min}}\right)^{\frac{c_v}{R}}-1\right)\frac{c_v}{R}L_0-(L_0-L_{min})\right]}\]

Podobne zadania z termodynamiki na Olimpiadzie Fizycznej

Jak wspomniałem na początku artykułu – to zadanie nie jest oderwane od pozostałych zadań z Olimpiady Fizycznej. Pojawiały się w przeszłości podobne zadania, poniżej przedstawiam kila z nich.

  • Zadanie T2 z II etapu 56 Olimpiady Fizycznej. Zawiera niemal dokładnie taki sam układ jaki rozważaliśmy powyżej.
  • Zadanie T3 z II etapu 61 Olimpiady Fizycznej. Opiera się na wykorzystaniu zasady zachowania energii w sytuacji mechaniczno-termodynamicznej.
  • Zadanie T2 z III etapu 58 Olimpiady Fizycznej. To zadanie jest bardzo różne od rozważanego zadania, jednak zawiera dokładnie ten sam haczyk – energię związaną z ciśnieniem zewnętrznym.

Jeśli chciałbyś dowiedzieć się więcej o termodynamice lub przygotować się do Olimpiady Fizycznej zerknij na naszą ofertę korepetycji olimpijskich. Jeśli masz pytania dotyczące artykułu, bądź uważasz, że mógłbym rozbudować jakąś myśl – daj mi znać w komentarzu. 🙂

0 0 votes
Article Rating
Subscribe
Powiadom o
guest
0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments