konkurs kuratoryjny z fizyki dla szkół podstawowych, nauka z fizyką olimpijską

Wektory i działania na wektorach

Wektory i działania na wektorach - nauka z fizyką olimpijską

Ten artykuł powstał z myślą o każdym uczniu i studencie, chcącym wzbogacić swoją wiedzę o operacjach wektorowych w fizyce. Niezależnie od tego, czy przygotowujesz się do zajęć w szkole lub na studiach i potrzebujesz korepetycji z fizyki, czy do konkursu lub olimpiady, czy też po prostu jesteś pasjonatem chcącym poszerzyć swój aparat matematyczny, tutaj poznasz wszystkie najważniejsze informacje na temat działania na wektorach. Dzięki przyswojeniu sobie zawartych tu informacji nie będzie dla Ciebie najmniejszym problemem mierzenie się z wielkościami wektorowymi, które w fizyce są równie powszechne, co wielkości skalarne (o różnicy między nimi również możesz przeczytać poniżej). Poznaj tajniki operacji wektorowych w fizyce z doświadczonymi korepetytorami z Fizyki Olimpijskiej. Odkryj iloczyn wektorowy, skalarny, dodawanie i odejmowanie wektorów oraz mnożenie wektora przez skalar. Także pozwól, że rozłożymy razem z Tobą wektory na czynniki pierwsze.

Wektory w fizyce

Wielkości z jakimi spotkacie się w fizyce dzielą się na wielkości skalarne i wielkości wektorowe. Skalary posiadają tylko jedną cechę – wartość liczbową, czyli pewnego rodzaju ilość. Wielkości skalarne to np. masa, objętość, temperatura oraz czas. W tym artykule poświęcimy uwagę jednak drugiemu rodzajowi wielkości. Wielkości wektorowe to wielkości, które poza wartością liczbową posiadają również pewien kierunek oraz zwrot, a niektóre także punkt zaczepienia (inaczej można go nazywać punktem przyłożenia). Przykładami wielkości wektorowych są prędkość, przyspieszenie, siła, czy natężenie pola. Wektory w fizyce pełnią niezwykle ważną funkcję, bez  ich opanowania pewne problemy fizyczne stałyby się niemożliwe lub przynajmniej niezwykle trudne do rozważania, więc jest to temat, który zdecydowanie jest warty Twojej uwagi jeśli pragniesz rozwinąć swoje fizyczne skrzydła. 

Graficznie wektor przedstawiamy w następujący sposób:

wektor-wektory w fizyce

 Natomiast wielkość wektorową: \vec{a},

czyli aby zaznaczyć wektorową naturę danej wielkości, wystarczy powyżej jej oznaczenia narysować poziomą strzałkę. 

Kierunek wektora to prosta, na której znajduje się wektor, czyli na przykład pion, poziom, ukos.

Zwrot wektora określa, który koniec wektora jest jego początkiem, a który końcem, tj. czy wektor kieruje się w lewo, w prawo, w górę, czy w dół.

Punkt zaczepienia, mówi nam, w którym miejscu wektor się zaczyna (jest przyłożony, u dołu piłki, w środku, a może gdzieś pomiędzy?). 

Współrzędne wektora

Wektory możemy przedstawić w bardzo ładnej postaci w kartezjańskim układzie współrzędnych. Jak zapewne pamiętasz każdy punkt w układzie współrzędnych możemy zapisać za pomocą uporządkowanej pary liczby – (x,y). Pierwsza liczba mówi ile kroków musimy zrobić w kierunku wskazywanym przez oś ox, natomiast druga liczba mówi ile kroków powinniśmy zrobić w kierunku osi oy aby dotrzeć do naszego punktu. Przykładowo, aby odnaleźć punkt (3,2) w układzie współrzędnych zrobimy 3 krok wzdłuż osi x i dwa kroki w górę wzdłuż osi y.

układ współrzędnych - wyznaczanie wektora

Dlaczego o tym wspominamy w artykule o wektorach? Ponieważ taką parę punktów (3,2) możemy również potraktować jako wektor prowadzący od początku układu współrzędnych do punktu (3,2).

wektor w układzie współrzędnych

W ten sprytny sposób zyskujemy możliwość matematycznego zapisu wektorów, a to otwiera przed nami szeroki i niezwykle przydatny świat operacji na wektorach. Zacznijmy od najprostszej z nich – od dodawania wektorów.

Działania na wektorach – Dodawanie wektorów

Dodawanie wektorów, inaczej nazywane składaniem wektorów, służy do znajdowania wektora wypadkowego. W układzie współrzędnych wektor definiowany jest poprzez podanie jego współrzędnych i w takiej formie też najczęściej opisywane są wektory w fizyce. Przykładowo:

    \[\vec{a} = (x_a, y_a, z_a), \vec{b} = (x_b, y_b, z_b)\]

Wektor wypadkowy wektorów \vec{a} i \vec{b} otrzymujemy poprzez dodanie do siebie kolejnych współrzędnych wektorów składowych:

    \[\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = (x_c, y_c, z_c)  = (x_a + x_b, y_a + y_b, z_a + z_b)\]

Natomiast kierunek oraz zwrot wektora możemy znaleźć na kilka sposobów. Jeśli wektory mają zgodny kierunek to sytuacja jest bardzo prosta. W przypadku zgodnych zwrotów wektor wypadkowy będzie miał długość równą sumie długości wektorów składowych:

Dodawanie wektorów - wektory w fizyce

Natomiast w przypadku wektorów o zwrotach przeciwnych wektor wypadkowy będzie miał długość równą różnicy wektorów składowych:

Dodawanie wektorów-wektory w fizyce

Dwa wektory o różnych kierunkach możemy dodać do siebie korzystając z kilku różnych metod. Ponieważ dodawanie wektorów jest bardzo fundamentalną operacją mamy do dyspozycji aż trzy różne metody dodawania wektorów:

  • Metoda równoległoboku
  • Metoda Trójkąta
  • Metoda na węża

Oczywiście każda z tych metod doprowadzi nas do tego samego wyniku 🙂 . Przyjrzyjmy się dokładniej wszystkim sposobom dodawania wektorów.

Sposób I – Dodawanie wektorów metodą równoległoboku

Mając dwa wektory \vec{a} i \vec{b}

Dorysuj po jednej przerywanej linii równoległej do każdego z nich tak, by tworzyły równoległobok.

Teraz wystarczy połączyć wierzchołek równoległoboku, w którym spotykają się wektory, z wierzchołkiem, w którym spotykają się linie pomocnicze.

Dodawanie wektorów-wektory w fizyce

Sposób II – Dodawanie wektorów metodą trójkąta

Mając dwa wektory \vec{a} i \vec{b}

Połącz początek wektora pierwszego z końcem wektora drugiego

Choć oczywiście jedna z metod może wydawać Ci się prostsza, dobrze jest opanować obydwie, ponieważ każda z nich może się przydać w zależności od zadania.

Dodawanie wektorów

Dowód równoważności metody trójkąta i dodawania współrzędnych

Jeśli wierzysz mi na słowo, że powyższe metody są sobie równoważne, możesz śmiało przejść do kolejnego rozdziału. Jeśli jednak masz bardziej naukowe podejście i chcesz dowodów, to jesteś we właściwym miejscu 🙂

Skorzystajmy z metody trójkątów aby dodać dwa wektory \vec{a}=(x_a, y_a) oraz \vec{b}=(x_b, y_b), narysowane w układzie współrzędnych.

Z powyższego rysunku widać, że wypadkowy wektor \vec{a}+\vec{b} ma współrzędną x-ową równą sumie współrzędnych x-owych wektorów \vec{a} oraz \vec{b}. Podobnie sprawa ma się ze współrzędnymi y-kowymi. Tym samym udowadniamy wcześniej zaprezentowany wzór:

    \[\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = (x_c, y_c)  = (x_a + x_b, y_a + y_b)\]

Sposób III – Dodawanie wektorów metodą – „Na Węża”

Niewątpliwą zaletą metody trójkątów jest łatwość w jej uogólnieniu na dodawanie większej ilości wektorów. Wyobraźmy sobie, że chcemy dodać 5 wektorów.

Zamiast rysować 5 równoległoboków możemy po prostu poprzesuwać wektory na kartce papieru w taki sposób aby koniec jednego wektora był jednocześnie początkiem kolejnego wektora. Otrzymamy w ten sposób węża wektorów.

Kolejność układania wektorów jest dowolna. Aby znaleźć wektor wypadkowy (wektor sumaryczny) wystarczy poprowadzić strzałkę zaczynającą się w początku pierwszego wektora i kończącą się w punkcie końcowym ostatniego wektora.

Metoda węża to najskuteczniejsza metoda graficznego dodawania wielu wektorów.

Działania na wektorach – Odejmowanie wektorów

Jeśli dodawanie wektorów jest dla Ciebie zrozumiałe, to z odejmowaniem nie powinno być najmniejszych problemów, ponieważ jest to całkowicie analogiczna metoda działania na wektorach.

    \[\vec{c} = \vec{a} - \vec{b} = (x_c, y_c, z_c)  = (x_a - x_b, y_a - y_b, z_a - z_b)\]

Kierunek i zwrot wektora powstałego poprzez odjęcie od siebie dwóch wektorów możemy znaleźć za pomocą jednego z przedstawionych wyżej sposobów, tylko zmieniając zwrot na przeciwny wektora odejmowanego. Przykładowo stosując metodę trójkąta.

Działania na wektorach - Odejmowanie wektorów - wektory w fizyce

Aby znaleźć kierunek i zwrot różnicy \vec{a} - \vec{b}

Zmieniamy zwrot wektora \vec{b} pamiętając, że jego długość pozostaje taka sama.

Następnie powtarzamy te same kroki, co w przypadku dodawania.

Wektory - Odejmowanie wektorów

Mnożenie przez skalar

Mnożenie przez skalar, czyli inaczej mówiąc mnożenie wektora przez liczbę, dokonujemy poprzez przemnożenie przez daną liczbę każdej współrzędnej wektora:

    \[A \cdot \vec{c} = (A \cdot x_c, A \cdot y_c, A \cdot z_c)\]

Taki wektor będzie miał kierunek oraz zwrot zgodny z kierunkiem i zwrotem wektora wyjściowego \vec{c}

Iloczyn skalarny

Iloczyn skalarny jest bardzo potrzebny w obliczeniach fizycznych, czego przykładem może być obliczanie pracy jako iloczyn skalarny siły i przesunięcia. Obliczany jest on poprzez przemnożenie przez siebie długości mnożonych wektorów, a następnie przemnożenie otrzymanego iloczynu razy cosinus kąta między wektorami:

    \[\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos{\alpha}\]

Działania na wektorach - iloczyn skalarny.jpg

|\vec{a}| oznacza właśnie długość wektora, która może być policzona jako pierwiastek sumy kwadratów kolejnych współrzędnych:

    \[|\vec{a}| = \sqrt{x_a^2 + y_a^2 + z_a^2}\]

Jest to doskonale widoczne, gdy narysujemy sobie dany wektor w układzie współrzędnych.

Rozkład wektora na współrzędne

Najpierw oblicz przekątną podstawy tworzącej się poprzez składowe wektora prostopadłościanu: d = \sqrt{x_a^2 + y_a^2} przy użyciu tej długości oblicz przekątną całego prostopadłościanu, a otrzymasz wypisany wcześniej wzór: |\vec{a}| = \sqrt{x_a^2 + y_a^2 + z_a^2}

Powyższy sposób obliczania działa niezależnie od tego jak wiele współrzędnych posiada dany wektor

Działania na wektorach – Iloczyn wektorowy

Iloczyn wektorowy wektorów \vec{a} i \vec{b} tworzy nowy wektor \vec{c}, którego długość obliczamy podobnie jak w iloczynie skalarnym poprzez przemnożenie przez siebie długości wektorów \vec{a} i \vec{b}. Jednak następnie otrzymany iloczyn mnożymy przez sinus kąta między wektorami:

    \[\vec{a} \times \vec{b} = \lvert \vec{a} \rvert \lvert \vec{b} \rvert \sin \alpha\]

Otrzymany w ten sposób wektor \vec{c} jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczanej przez wektory \vec{a} i \vec{b}, natomiast jego zwrot określany jest regułą prawej dłoni lub śruby prawoskrętnej. Żeby określić zwrot wektora \vec{c}, będącego iloczynem wektorów \vec{a} i \vec{b}:

Ułóż palce dłoni tak, jakby zgiętymi palcami miał być przesunięty wektor \vec{a} w kierunku wektora \vec{b}.

Unieś kciuk – on wskaże zwrot otrzymanego wektora.

Wektory z Fizyką Olimpijską

Teraz, gdy znamy już działania na wektorach, wiemy czym różnią się wielkości wektorowe od skalarnych, a także poznaliśmy kilka przykładów użycia wektorów w fizyce, znacznie poszerzyły się Nasze możliwości rozwiązywania zadań! 😀 Jeśli przygotowujesz się do matury, konkursu, olimpiady lub zaliczenia na studiach z przyjemnością Ci pomożemy! Zapraszam Cię nie tylko do korzystania z udostępnianych przez nas materiałów, które przygotowujemy właśnie po to, aby ułatwić Ci naukę, ale także do umówienia się z nami na prywatne korepetycje z fizyki online, na których możemy zarówno wytłumaczyć Ci różne zadania, jak i swobodnie porozmawiać o pasjonujących Ciebie i Mnie fizycznych zagadnieniach.

Bardzo docenię również twój feedback, jeśli uważasz że w artykule możemy co dodać lub zmienić daj proszę znać w komentarzu. Jeśli artykuł okazał się dla Ciebie przydatny możesz też zostawić jakiś ślad po sobie – to bardzo motywuje do dalszego dzielenia się wiedzą 🙂

Autorka Artykułu:

Bibliografia:

  1. Wektory – materiał edukacyjny zamieszczony przez AGH
  2. Vademecum maturalne z fizyki, wydawnictwo „GREG”, 2017/2018
  3. Podręcznik dla szkół ponadgimnazjalnych, zakres rozszerzony część 1,
    „Z fizyką w przyszłość”, wydawnictwo „WSiP”, 2015
0 0 votes
Article Rating
Subscribe
Powiadom o
guest
0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments