Olimpiada Fizyczna

Na tym bungee spadałem z przyspieszeniem większym niż przyspieszenie grawitacyjne!

Z jakim przyspieszeniem spada się na bungee?

Skok na bungee od kilku lat był moim marzeniem, jednak jak z każdym ekstremalnym wyzwaniem bywa – długo zwlekałem z jego realizacją. Podczas sesji egzaminacyjnych nie raz zdarzało mi się oglądać filmy ze skaczącymi ludźmi na bungee. Chciałem poczuć nieco więcej energii i motywacji, aby przebrnąć przez nużące egzaminy.

Kilka dni temu miałem niesamowitą okazję skoczyć na bungee! Pomimo znajomości statystyki i wiedzy, że tylko jeden na 500 000 skoków kończy się śmiercią – już dzień przed skokiem czułem ogromny stres, w nocy także nie byłem w stanie zasnąć. Następnego dnia kiedy spotkałem się z przyjaciółmi, z którymi miałem skakać – stres odrobinę zaczął odpuszczać. Dobre towarzystwo potrafi zdziałać cuda.

Kiedy przyszła moja kolej, założono mi uprząż, podpięto linę i wszedłem do kosza. Miałem w głowie tylko jedną myśl “nie patrz w dół!”. Wjechaliśmy na górę, słyszę “3…2…1…Bungee!”, następnie zrobiłem krok i uczucie spadku swobodnego trwającego tak długo było niesamowite! Kiedy lina rozciągnęła się na maksymalną długość – zacząłem lecieć z powrotem do góry, potem znowu w dół… Podczas oscylacji ogarnęło mnie uczucie spokoju. Dopiero wtedy byłem w stanie docenić to, czego właśnie doświadczyłem. Skok był niesamowitym doświadczeniem.

Spadek swobodny, czy nieswobodny?

Jak już znalazłem się na Ziemii zorientowałem się, że coś jest nie tak. Mój spadek wcale nie był swobodny. Mało tego, zorientowałem się, że możliwe jest spadanie z przyspieszeniem większym niż grawitacyjne. Jak to?! Przecież w szkole od samego początku przygody z fizyką uczymy się, że ciało puszczone swobodnie będzie spadało z przyspieszeniem grawitacyjnym g.

Położenie środka masy liny (czarna kropka), skoczka (fioletowa) i całego układu (zielona)

Każdy przecież wie, że opory powietrza mogą ten spadek jedynie spowolnić zmniejszając przyspieszenie. Ale to nie znaczy, że nie można swobodnie spadać z przyspieszeniem większym niż przyspieszenie grawitacyjne. 

Spadek swobodny z przyspieszeniem większym niż grawitacyjne

Druga zasada dynamiki Newtona w wyprowadzeniu powyżej odnosi się do zachowania środka masy układu. Co za tym idzie zasada, której uczymy się w szkole mówi jedynie, że “przyspieszenie środka masy ciała spadającego swobodnie równa się przyspieszeniu grawitacyjnemu”. Zasada ta nic nie mówi o przyspieszeniu pozostałych punktów.

Przeanalizujmy zachowanie człowieka skaczącego na bungee

Na rysunku zaznaczyłem trzy punkty: środek masy liny, środek masy człowieka oraz środek masy całego układu. W trakcie swobodnej części spadku (gdy lina nie jest napięta) środek masy układu porusza się z przyspieszeniem g. Jeśli człowiek w chwili początkowej ruchu będzie spadał z przyspieszeniem a, to środek masy liny będzie musiał rozwijać się z przyspieszeniem a/2 – stąd moglibyśmy ułożyć prostą relację pokazującą jak wyznaczyć a. Innym sposobem spojrzenia na problem jest: zauważenie, że siła grawitacji nie jest tak naprawdę jedyną siłą jaka działa na skoczka. Jest jeszcze siła naprężenia liny, która powoduje pojawienie się “nadmiarowego” przyspieszenia.

Jak widać w początkowej fazie ruchu skoczek będzie ciągnięty w dół! Jest to efekt bardzo odczuwalny i znany każdemu kto kiedykolwiek skakał na bungee. Siła ciągnięcia będzie tym większa, im większy jest stosunek masy liny do masy skoczka.

Zobacz na własne oczy przyspieszenie ponad grawitacyjne!

Efekt spadku z przyspieszeniem ponad grawitacyjnym jest możliwy do zaobserwowania w warunkach znacznie mniej ekstremalnych niż skok na bungee. Na kanale Veritasium Derek Muller przeprowadził eksperyment podczas którego zrzucał hantle z wysokości. Jeden z nich spadał swobodnie, a jeden z nich był zawieszony na łańcuchu. Na tym filmie przyspieszenie ponad grawitacyjne możesz zobaczyć na własne oczy!

Czy ta wiedza może przydać się na Olimpiadzie Fizycznej? Zdecydowanie tak, każde proste zjawisko, które z początku wydaje się nieintuicyjne znajdzie swoje miejsce na Olimpiadzie Fizycznej! Zadanie wykorzystujące wiedzę, która pojawia się w tym artykule pojawiło się nawet w Olimpiadzie, w której brałem udział.

Zadanie

Wyznacz przyspieszenie skoczka bungee od momentu utraty z kontaktu z koszykiem do momentu maksymalnego rozciągnięcia liny. Załóż, że masa skoczka to 70 kg, masa liny to 20 kg a jej długość to 50 m. Pomiń opory powietrza oraz załóż, że lina nie zwija się podczas spadku.

Rozwiązanie

Zgodnie z zasadą zachowania energii możemy zapisać:

0=E_k(x)+E_p(x)

Całkowita energia mechaniczna na początku równa się sumie energii kinetycznej i potencjalnej układu, gdy skoczek znajduje się na wysokości x.
Masa liny po lewej stronie:

m_l=\lambda\frac{l-x}{2}, gdzie \lambda[\frac{kg}{m}] – gęstość liniowa liny
Energia kinetyczna skoczka na wysokości x:

E_k=\frac{Mv^2}{2}+\frac{\lambda(\frac{l-x}{2}v^2}{2}

Aby wyznaczyć energię potencjalną układu musimy znać położenia środków masy skoczka, lewej oraz prawej strony liny:
x_l=\frac{x+l}{4}, m_l=\lambda\frac{l+x}{2}
x_r=x+\frac{l-x}{4}=\frac{3x+l}{4}, m_r=\lambda\frac{l-x}{2}

gdzie \lambda=\frac{m}{l} to gęstość liniowa liny

Wykres przyspieszenia w zależności od położenia skoczka

E_p=-\frac{g\lambda}{8}((x+l)^2+(3x+l)(l-x))-Mgx

z ZZE dostajemy:
\frac{Mv^2}{2}+\frac{\lambda(\frac{l-x}{2})v^2}{2}=E_p=\frac{g\lambda}{8}((x+l)^2+(3x+l)(l-x))+Mgx

Co ostatecznie prowadzi do:
v^2=\frac{g\lambda(l^2+2lx-x^2)+4Mgx}{2M+\lambda(l-x)}

Aby wyznaczyć przyspieszenie możemy zróżniczkować obie strony równania:
2av=\frac{g(8M^2+8lM\lambda+3l^2\lambda^2+\lambda x(-4M-2l\lambda+\lambda x))v}{{(2M+l\lambda-\lambda x)}^2}

Dzieląc to potworne wyrażenie przez 2v oraz wstawiając definicję \lambda dostajemy:
a=\frac{g}{2}+\frac{gl^2(m^2+2mM+2M^2)}{(l(m+2M)-mx)^2}

Więcej o fizyce skoku na bungee możesz poczytać tutaj lub tutaj. Zadania wykorzystujące trik z przyspieszeniem supergrawitacyjnym pojawiają się w wielu miejscach w świecie fizyki:

  • na III etapie Olimpiady Fizycznej w 2014/2015 roku,
  • na I etapie Olimpiady Fizycznej w 2014/2015 roku – zadanie 12. Zadania o skoku na bungee pojawiały się również podczas Międzynarodowej Olimpiady Fizycznej (IPHO) w 2000 roku oraz w teście PISA (teście porównującym wiedzę i umiejętności naukowe uczniów z różnych krajów).
0 0 votes
Article Rating
Subscribe
Powiadom o
guest
0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments