Matura z Fizyki

Rozwiązania zadań z matury z fizyki 2023

Cześć, drogi odkrywco świata fizyki! Gratuluję Ci przejścia przez wyzwanie, jakim była matura z fizyki 2023 – jesteś o krok bliżej opanowania tajemnic Wszechświata i dostania się na swój wymarzony uniwersytet.

Mam nadzieję, że czujesz ulgę po zakończeniu matury. Przygotowanie do matury wiązało się z ogromem pracy i stresu. Ale na szczęście już po wszystkim – możemy teraz odetchnąć i zrelaksować się. No nie do końca… Skoro tutaj jesteś, to znaczy że do pełnego zrelaksowania się potrzebujesz jeszcze potwierdzenia poprawności swoich rozwiązań zadań 🙂 .I mamy dla Ciebie świetną wiadomość – zgadza się, przygotowaliśmy dla Ciebie „rozwiązania zadań z matury z fizyki 2023”! Mało tego podzielimy się naszymi opiniami i spostrzeżeniami na temat zadań – czy miały właściwy poziom? Czy były poprawnie sformułowane? Czy dały możliwość pokazania pełni swojej wiedzy i umiejętności?

Zanim jednak zagłębisz się w lekturze chciałbym jeszcze wspomnieć że Fizyka Olimpijska to nie tylko strona z rozwiązaniami zadań z matury. To również miejsce, gdzie pasjonaci fizyki – tak, jak Ty – mogą się spotkać, rozmawiać i rozwijać swoją pasję. Jesteśmy tu dla Ciebie nie tylko w trakcie przygotowań do matury, ale także później, na studiach, kiedy stawisz czoła wyzwaniom większego kalibru. Czy to mechanika kwantowa, dynamika płynów czy elektrodynamika – nasi wspaniali korepetytorzy zawsze tutaj będą, gotowi, by Ci pomóc. 🙂 Ale to kwestia przyszłości, teraz przejdźmy do tego co najważniejsze czyli do rozwiązań zadań z matury 2023

Rozwiązania zadań z matury z fizyki 2023

Rozwiązania Zadania 1 - Pościg policyjny - Jak bardzo oddalały się samochody?!

Rozwiązania Zadania 1 – Pościg policyjny – Jak bardzo oddalały się samochody?!

Treść Zadania

Samochód policyjny P jechał ze stałą prędkością o wartości v_{0p} = 20 \frac{m}{s}. W pewnej chwili został on wyprzedzony przez samochód osobowy F jadący w tym samym kierunku ze stałą prędkością o wartości v_f = 35 \frac{m}{s} (zobacz rysunek 1.). W chwili t_0 = 0, gdy odległość między samochodami P i F zwiększyła się do d_0 = 40 m, samochód policyjny rozpoczął pościg ze stałym przyśpieszeniem o wartości a = 6 \frac{m}{s^2}(zobacz rysunek 2.).

Rysunek 1 zadania 1 z matury z fizyki 2023 - nowa formuła
Rysunek 2 zadania 1 z matury z fizyki 2023 - nowa formuła

Odległość d między samochodami P i F jeszcze przez pewien czas rosła, w pewnej chwili osiągnęła wartość maksymalną d_{max}, a następnie zaczęła maleć. Przyjmij, że:

  • od chwili t_0 = 0 samochód policyjny P poruszał się ruchem jednostajnie przyśpieszonym prostoliniowym
  • samochód F cały czas poruszał się ruchem jednostajnym prostoliniowym
  • odległość pomiędzy samochodami traktujemy jako odległość pomiędzy ustalonymi punktami na przednich zderzakach.

Oblicz d_{max} – maksymalną odległość pomiędzy samochodami P i F podczas pościgu.

Rozwiązanie zadania

Rozpocznijmy od rozmieszczenia naszych bohaterów na osi współrzędnych. Wyobraź sobie, że stoisz na chodniku obok jezdni, obserwując ten fascynujący pościg w realnym czasie. Pamiętaj, że samochód policyjny P zaczyna pościg ze stałą prędkością o wartości v_{0p} = 20 \frac{m}{s}, podczas gdy samochód osobowy F pędzi przed nim ze stałą prędkością v_f = 35 \frac{m}{s}. Przede wszystkim, spróbujmy określić, gdzie każdy z nich jest w dowolnym momencie t.

1. Wzór na położenie samochodu policyjnego P w funkcji czasu x_p(t)

Samochód policyjny P rusza w pościg z punktu startowego przy stałym przyśpieszeniu, więc jego ruch jest jednostajnie przyśpieszony. Wykorzystując znane nam równanie, możemy zdefiniować położenie samochodu P w dowolnym momencie czasu t. x_p(t) = v_{op}t + \frac{1}{2}at^2 gdzie a to przyspieszenie samochodu policyjnego.

2. Wzór na położenie samochodu F w funkcji czasu x_f(t)

Dla samochodu F sytuacja jest prostsza. Porusza się on ze stałą prędkością, więc jego ruch to ruch jednostajny prostoliniowy. Jego położenie od czasu możemy zapisać jako x_f(t) = d0 + v_{f}t gdzie: d_0 to początkowa odległość między samochodami natomiast v_{f} to prędkość samochodu F,

3. Wzór na odległość między pojazdami d(t)

Teraz, kiedy mamy obie funkcje położenia, możemy je zastosować, aby znaleźć odległość między samochodami w dowolnym momencie. To będzie prosta różnica między dwoma funkcjami:

    \[d(t) = x_f(t) - x_p(t)= d0 + \left(v_{f}-v_{op}\right)t - \frac{1}{2}at^2\]

4. Znalezienie czasu dla którego odległość jest maksymalna

Aby znaleźć, kiedy odległość między pojazdami osiąga maksymalną wartość, możemy obliczyć pochodną funkcji d(t) i przyrównać ją do zera.

    \[\frac{d}{dt}d(t) = -at + \left(v_{f}-v_{op}\right) =0\]

Rozwiązując powyższe równanie, otrzymamy czas, kiedy odległość między samochodami osiąga swój maksimum

    \[t_{max}= \frac{v_{f}-v_{op}}{a}=\frac{15\frac{m}{s}}{6\frac{m}{s^2}}=\frac{15}{6}s=2.5s\]

W tym czasie samochody osiągnęły maksymalną odległość która wyniosła

    \[d_{max}=d(t_{max})=d0 + \frac{\left(v_{f}-v_{op}\right)^2}{2a}=40+\frac{225}{12}m=58.75m\]

6. Odpowiedź

Samochody oddaliły się na maksymalną odległość 38.75m. Odległość ta została osiągnięta po 2.5s pościgu,


Podsumowanie zadania

To standardowe zadanie z kinematyki które zazwyczaj pojawia się na początku matury. Ocenił bym je na bardzo łatwe. Największą trudność w tym zadaniu stanowiła optymalizacja odległości przy użyciu pochodnej.

20
Poziom trudności

Rozwiązanie zadania 2 - Krążki Hokejowe

Rozwiązanie zadania 2 – Krążki Hokejowe

Krążek K_1 porusza się w inercjalnym układzie odniesienia U ze stałą prędkością \vec{v}, a krążek K_2 spoczywa. Środek krążka K_2 leży poza prostą wyznaczającą kierunek ruchu krążka K_1. W pewnej chwili krążek K_1 uderza w krążek K_2. Na rysunku 1. w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono poruszający się krążek K_1 i spoczywający krążek K_2. Oznaczono prędkość \vec{v} krążka K_1 i składowe \vec{v}_x, \vec{v}_y tej prędkości.

Zadanie 2.1

Na rysunku 2. przedstawiono moment zderzenia się obu krążków. Krążki są jednorodne, a ich masy są sobie równe. Pomijamy tarcie między krążkami K_1 i K_2 oraz między krążkami a podłożem. Na rysunku 2. powyżej narysuj parę sił wzajemnego oddziaływania pomiędzy krążkami podczas ich zderzenia. Każdą z sił przyłóż – odpowiednio – w punkcie środka masy krążka K_1 lub krążka K_2. Zachowaj odpowiednie kierunki i zwroty tych sił oraz relację (większy, równy, mniejszy) między ich wartościami.

Rysunek 1 zadania 2 z matury z fizyki 2023 - nowa formuła

Rozwiązanie zadania 2.1

Pierwszym krokiem w rozwiązaniu tego zadania jest narysowanie sił wzajemnego oddziaływania pomiędzy krążkami podczas zderzenia. Będą to siły reakcji których celem jest uniemożliwienie krążkom przenikania się. Siły reakcji zawsze są prostopadłe do miejsca styku. Ponadto zgodnie z III prawem Newtona, siły te będą miały tę samą wielkość, ale przeciwny kierunek. Należy je poprawnie zaznaczyć na rysunku.

Rysunek 2 z zadania 1 z matury z fizyki 2023 - nowa formuła

Z Zaznaczonymi wektorami sił w ramach Rozwiązania zadań z matury z Fizyki 2023
Zadanie 2.2

Załóżmy, że zderzenie krążków K_1 i K_2 było doskonale sprężyste. Na którym rysunku (spośród A–D) prawidłowo narysowano i opisano wektory prędkości krążków bezpośrednio po zderzeniu w układzie odniesienia U? Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Rysunek 3 z zadania 2 z Matury z Fizyki 2023
Rozwiązanie zadania 2.2

Teraz, mając prawidłowo narysowane siły, możemy przejść do analizy zderzenia. Zgodnie z II Zasadą dynamiki Newtona o Sile możemy myśleć jako o przekazie pędu między ciałami. Skoro lewy krążek działa na prawy siłą F to znaczy że przekazuje mu pęd \vec{\Delta{p}} zgodnie ze wzorem

    \[\vec{F}=\frac{\vec{\Delta} p}{\Delta t}\]

Zatem widzimy że prawy krążek uzyska pęd skierowany w prawo, a skoro początkowo nie miał w ogóle żadnego pędu to cały jego pęd będzie skierowany w prawo. W związku z tym od razu możemy odrzucić odpowiedzi B i D.

Aby zdecydować się na jedną z pozostałych możliwości – A lub C możemy skorzystać z informacji że zderzenie jest idealnie sprężyste – oznacza to że podczas takiego zderzenia jest zachowana energia. Całkowita energia w układzie przed zderzeniem wynosiła:

    \[E_{pocz.}=\frac{m\left(v_x^2+v_y^2\right)}{2}\]

Energia końcowa w sytuacji A wynosi

    \[E_{kA}=\frac{m\left(\frac{v}{2}\right)^2}{2}+\frac{m\left(\frac{v}{2}\right)^2}{2}=\frac{mv^2}{4}\]

natomiast Energia końcowa w sytuacji C wynosi

    \[E_{kC}=\frac{mv_x^2}{2}+\frac{mv_y^2}{2}\]

W powyższym obliczeniu skorzystaliśmy z faktu że masy obu krążków są sobie równe. Jak widać w przypadku C mamy tyle samo energii na końcu co na początku, natomiast w przypadku A tracimy połowę energii w niewyjaśnionych okolicznościach. Oznacza to że odpowiedź C jest prawdziwa.

Podsumowanie zadania

W tym zadaniu największym niebezpieczeństwem było ulegnięcie chęci prędkości po zderzeniu własnoręcznie i nie wykorzystanie informacji podanych w podpunktach A,B,C,D. Ulegnięcie tej pokusie mogło kosztować kilkanaście minut obliczeń. Dodatkowo trzeba było wykazać się wiedzą o Siłach reakcji, III zasadzie dynamiki newtona i wiedzieć że w zderzeniu idealnie sprężystym energia jest zachowana. Było to zadanie dynamiki o normalnym stopniu trudności.

Podczas korepetycji do matury z fizyki których udzielam, omawiając dynamikę bardzo lubię korzystać z filmików z międzynarodowej stacji kosmicznej – ze względu na brak tarcia i grawitacji dużo łatwiej jest tam zauważyć jak naturalnie zachowują się ciała kiedy nic na nie nie oddziałuje. Zderzenia sprężyste centralne i niecentralne bardzo ładnie zostały przedstawione na tym filmiku, natomiast III zasada dynamiki newtona świetnie przedstawiona jest na tym filmiku – jeśli te filmiki wydają ci się bardzo podobne to masz rację – III Zasada dynamiki Newtona to tak naprawdę inaczej przedstawione Zasada zachowania pędu.

30
Poziom trudności

Rozwiązanie zadania 3 - staczający się walec

Rozwiązanie zadania 3 – staczający się walec

Treść zadania:

Wzdłuż osi jednorodnego walca o masie m i promieniu R przechodzi cienki pręt, wokół którego walec może się obracać. Do tego pręta przymocowano cienką nierozciągliwą linkę, którą przewieszono przez bloczek. Na końcu linki zawieszono ciężarek o masie m (równej masie walca). Początkowo walec był unieruchomiony i spoczywał na stole. W pewnej chwili walec – ciągnięty przez linkę – rozpoczął ruch i toczył się dalej bez poślizgu po poziomej powierzchni stołu. Opisaną sytuację ilustrują rysunki 1. i 2.
Do analizy zagadnienia przyjmij model zjawiska, w którym:

  • moment bezwładności walca względem jego osi symetrii jest równy I=\frac{1}{2}mR^2
  • pomijamy masę linki, masę bloczka oraz masę pręta na osi symetrii walca
  • zakładamy, że ruch walca i ciężarka odbywa się w układzie inercjalnym
  • siła tarcia statycznego \vec{T} między walcem a powierzchnią stołu nie osiągnęła wartości
    maksymalnej
  • pomijamy inne (tzn. oprócz tarcia statycznego) opory ruchu układu.
Rysunek 1 z Zadania 3 z matury z Fizyki 2023 - nowa formuła

Rozwiązania zadań z matury z Fizyki 2023

Rozwiązanie Zadania 3.1

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń i napisz uzasadnienie

Energia kinetyczna ruchu postępowego walca jest większa od energii kinetycznej ruchu obrotowego walca względem jego osiEnergia kinetyczna ruchu postępowego E_{kin}=\frac{1}{2}mv^2. Natomiast Energia kinetyczna ruchu obrotowego dla walca toczącego się bez poślizgu – v=\omega R którego moment bezwładności wynosi I=mR^2 okazuje się być dwa razy mniejsza od Energii kinetycznej ruchu postępowego:

    \[\frac{1}{2}I\omega^2=\frac{mR^2\left(\frac{v}{R}\right)^2}{2}=\frac{1}{2}mv^2\]

Prawdziwe
Gdy walec toczy się bez poślizgu, to w czasie jednego obrotu przebywa drogę o długości 2\pi R.To jest definicja obrotu bez poślizgu. Odległość, jaką pokonuje punkt na obwodzie walca, jest równa długości obwodu, czyli 2 \pi R.Prawdziwe
Energia potencjalna opadającego ciężarka zamienia się w całości na energię kinetyczną ruchu postępowego walca i ruchu obrotowego walcaEnergia potencjalna opadającego ciężarka zamienia się częściowo również na energię kinetyczną ciężarkaFałsz

Rozwiązanie Zadania 3.2

Wyprowadź wzór pozwalający wyznaczyć wartość a przyśpieszenia ciężarka w zależności tylko od wartości g przyśpieszenia ziemskiego.

Do rozwiązania tego zadania wybierzemy podejście energetyczne. Zaczniemy od zapisania energii całkowitej walca i ciężarka:

  1. Energia całkowita walca jest sumą energii kinetycznej translacyjnej i rotacyjnej:

    \[E_w=\frac{m v_w^2}{2}+\frac{I \omega_w^2}{2}=\frac{m v_w^2}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}mR^2 (\frac{v_w}{R})^2=\frac{m v_w^2}{2}+\frac{1}{4}m v_w^2=\frac{3}{4}m v_w^2\]

  1. Energia całkowita ciężarka składa się z energii kinetycznej i potencjalnej:

    \[E_c=\frac{m v_c^2}{2}+mgx\]

Zauważmy, że skoro lina jest nierozciągliwa, to prędkość walca v_w jest równa prędkości ciężarka v_c.

Teraz możemy skupić się na energii całkowitej układu, która jest sumą energii walca i ciężarka. Zgodnie z zasadą zachowania energii w układzie zamkniętym energia mechaniczna jest zachowana, co oznacza, że suma energii kinetycznej i potencjalnej jest stała:

    \[E=E_w+E_c=\frac{3}{4}m v^2+\frac{m v^2}{2}+mgx\]

Teraz, aby obliczyć przyspieszenie, musimy przypomnieć sobie zależność między prędkością oraz pokonaną drogą a przyspieszeniem w ruchu jednostajnie przyspieszonym. Prędkość jest równa iloczynowi przyspieszenia i czasu: v=a t natomiast pokonana droga to x=\frac{1}{2}at^2 Podstawiamy powyższe do równania dla energii całkowitej:

    \[\frac{1}{2}at^2 mg=\frac{3}{4}m(a t)^2+\frac{m(a t)^2}{2}=\frac{5}{4}m a^2 t^2\]

Widzimy że prawie wszystko nam się skraca – dzielimy obustronnie przez m, t^2 oraz a i wyznaczamy ostatecznie przyspieszenie a:

    \[a=\frac{2}{5}g\]

Podsumowanie:

Rozwiązanie tego zadania z matury z Fizyki 2023 było dość przyjemne. Wymaga ono kompleksowej wiedzy z dynamiki oraz kinematyki, można je jednak rozwiązać na wiele sposobów. Sposób który przedstawiłem jest tylko jedną z kilku możliwości. Inny sposób polegałby na odpowiednim rozpisaniu sił działających w układzie i korzystając z II Zasady Dynamiki Newtona wyznaczenie przyspieszenia,

50
Poziom trudności

Rozwiązanie zadania 4 - uciekająca Sonda

Rozwiązanie zadania 4 – uciekająca Sonda

Treść zadania:

Sonda kosmiczna oddala się od Ziemi z prędkością \vec{v} wzdłuż prostej przechodzącej przez środek Ziemi. Ta sonda emituje w stronę Ziemi falę elektromagnetyczną o częstotliwości dokładnie f_{źr}=3 GHz (podana częstotliwość jest określona w układzie odniesienia związanym z sondą, czyli jest częstotliwością źródła fali). Sytuację ilustruje rysunek poglądowy poniżej (odległości na rysunku są umowne).

Odbierana na Ziemi fala ma częstotliwość f_z różniącą się od częstotliwości źródła fali o \Delta f = 750kHz. Wartość prędkości światła w próżni oznaczamy jako c. Przyjmij, że v<<c oraz c\approx 3\codt10^8 \frac{m}{s}

Rozwiązania zadania 4.1

Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C i jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.
Fala elektromagnetyczna wysyłana przez sondę porusza się względem Ziemi z prędkością równą:

Prędkość światła zawsze jest stała.

Rozwiązanie zadnia Zadanie 4.2

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Zarejestrowana na Ziemi częstotliwość f_z fali elektromagnetycznej wyemitowanej przez sondę jest równa

A. 3,75000 GHzB. 2,25000 GHzC. 3,00075 GHzD. 2,99925 GHz

Ponieważ sonda się oddala od Ziemii to odbierana na ziemii częstotliwość będzie mniejsza. Możemy zatem zapisać:

    \[f_z=f_{źr}+\Delta f=3Ghz + 750kHz=4\cdot 10^9Hz-750\cdot 10^3 Hz= 2,99925 GHz\]

Prawidłową odpowiedzią jest odpowiedź C.

Rozwiązanie zadnia Zadanie 4.3

Oceń prawdziwość poniższych relacji. Zaznacz P, jeśli relacja jest prawdziwa, albo F – jeśli jest fałszywa.

\lambda_{źr}\approx 0.1mTa relacja jest prawdziwa. Długość fali można obliczyć z równania \lambda_{źr}=\frac{c}{f_{źr}}=\frac{3\cdot 10^8\frac{m}{s}}{3\cdot 10^9 Hz} =0,1mPrawda
\lambda_z>\lambda_{źr}Efekt Dopplera powoduje, że odbierana długość fali jest większa od emitowanej, kiedy źródło oddala się. Widać to świetnie na rysunku zamieszczonym poniżej.
Prawda

Rozwiązania zadania 4.4

Obrazek przedstawiający efekt Dopplera  na potrzeby rozwiązań zadań z matury z fizyki 2023
Efekt Dopplera. Na niebiesko zaznaczona są kolejne fronty falowe. Źródło porusza się w prawo.

Oblicz v – wartość prędkości sondy względem Ziemi. Zapisz obliczenia.

Przyjmując, że efekt Dopplera jest niewielki, możemy użyć wzoru na nierelatywistyczne przesunięcie dopplerowskie (działające w przypadku niewielkich prędkości): f_{z} =f_{źr}\left(1+ \frac{v}{c}\right) Gdzie:
v – prędkość sondy,
c – prędkość światła,

Rozwiązując to równanie dla prędkości sondy v dostajemy:

    \[v = \frac{f_{z} -f_{zr}}{f_{zr}} c = \frac{750⋅10^3Hz}{3⋅10^9Hz} 3\cdot 10^8 m/s = 75 m/s\]

Podsumowanie:

Zadania 4.1, 4.2 i 4.3 były przede wszystkim zadaniami na wiedzę. Na znajomość efektu Dopplera i zachowania fal elektromagnetycznych. Natomiast w zadaniu 4.4 Jak to zwykle bywa w zadaniach z efektem Dopplera największą pułapką było ustalenie znaku prędkości sądy we wzorze. Ponieważ w wielu szkołach kładziony jest mały nacisk na fale to zadanie mogło sprawiać problemy niektórym uczniom. Z tego właśnie względu uznałbym to zadanie za średnio trudne.

Podczas korepetycji do matury z fizyki w Fizyka Olimpijska zawsze opracowujemy z naszymi uczniami plan nauki. Dzięki temu mamy pewność że nie pominiemy żadnego działu\temu i uczeń nie padnie ofiarą takiego właśnie zadana wiedzowego.

40
Poziom trudności

Rozwiązanie zadania 5 - Sagittarius i Prawa Kepplera

Rozwiązanie zadania 5 – Sagittarius i Prawa Kepplera

Treść zadania

Sagittarius A* (Sgr A) to bardzo masywny obiekt znajdujący się w centrum naszej galaktyki. Gwiazda znana jako S2 obiega obiekt Sgr A po wydłużonej orbicie eliptycznej. Parametry tego ruchu orbitalnego są następujące:

  • okres obiegu S2 dookoła Sgr A* wynosi T_{S2} = 16 lat ziemskich
  • najmniejsza odległość środka S2 od centrum Sgr A* jest równa r_{P} = 120 au
  • największa odległość środka S2 od centrum Sgr A* jest równa r_{A} = 1820 au.

Przyjmij, że Sgr A* się nie porusza, oraz pomiń wpływ innych ciał na ruch S2.

Opisaną sytuację przedstawiono na rysunku 1. Ponadto oznaczono wektor \vec{v} prędkości środka S2 w przedstawionym położeniu na orbicie

Rozwiązanie:

Zadanie 5.1

Na rysunku 2. narysuj wektor przyśpieszenia \vec{a} środka gwiazdy S2 w oznaczonym położeniu na orbicie. Zachowaj odpowiedni kierunek i zwrot tego wektora (długość może być dowolna).

Ponieważ mamy pominąć wpływ innych ciał na ruch S2 to jedyną siłą jaka działa na gwiazdę S2 jest siła oddziaływania grawitacyjnego z Sgr A*. Siła ta będzie zatem siłą wypadkową i zgodnie z II Zasadą Dynamiki Newtona przyspieszenie będzie miało taki sam zwrot i kierunek jak siła grawitacji \vec{F}_{g}=\vec{F}_{w}=m\vec{a}.

Rozwiązania zadania 5.1 z matury z fizyki 2023 nowa formuła.
Zadanie 5.2

Wartość prędkości środka S2 w punkcie P orbity (rysunek 1. na stronie 12) oznaczymy jako V_p, a wartość prędkości środka S2 w punkcie A orbity oznaczymy jako v_a. Prędkość środka S2 w punkcie P lub w punkcie A jest prostopadła do promienia wodzącego (odcinka łączącego środki S2 i Sgr A*). Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych. Iloraz \frac{v_P}{v_A} jest równy (w zaokrągleniu do trzech cyfr znaczących)

A. \frac{v_P}{v_A}\approx 0,00435B. \frac{v_P}{v_A}\approx 0,0659C. \frac{v_P}{v_A}\approx 15,2D. \frac{v_P}{v_A}\approx 230

Najpierw obliczmy iloraz \frac{v_{P}}{v_{A}}. Z II prawa Keplera, wiemy, że obszary wyznaczone przez promień wodzący S2 za jednostkę czasu są takie same w każdym punkcie orbity. Zatem mamy:

    \[\frac{\Delta S_A}{\Delta t}=\frac{\Delta S_P}{\Delta t}\]

Ponieważ w punktach A i P wektor prędkości jest prostopadły do promienia wodzącego zakreślana powierzchnia przyjmie postać trójkąta prostokątnego. Jego powierzchnię \Delta S zakreśloną w czasie \Delta t możemy zapisać jako \Delta S=\frac{1}{2}v\Delta t r^2, gdzie r to aktualna długość wektora wodzącego.

Powieżchnia zakreślana przez orbitujące ciało w punktach A i P. Źródło

II Prawo Kepplera przyjmuje zatem postać:

    \[\frac{\Delta S_A}{\Delta t}=\frac{1}{2}v_A t r_A^2=\frac{\Delta S_P}{\Delta t}=\frac{1}{2}v_P t r_P^2\]

Gdzie r_{P} i r_{A} to długości promienia wodzącego w punktach P i A odpowiednio. Natomiast v_{P} i v_{A} to prędkości w punktach P i A. Rozwiązując to równanie dla ilorazu v_{P}/v_{A}, otrzymujemy:

    \[\frac{v_{P}}{v_{A}} = \frac{r_{A}}{r_{P}}=\frac{1820 \, \text{au}}{120 \, \text{au}} = 15.17\]

Czyli odpowiedź C jest odpowiedzą prawdziwą.

A. \frac{v_P}{v_A}\approx 0,00435B. \frac{v_P}{v_A}\approx 0,0659C. \frac{v_P}{v_A}\approx 15,2D. \frac{v_P}{v_A}\approx 230

Informacja do zadań 5.3.–5.4

Załóżmy, że ciało C_1 krąży po orbicie O_1 wokół centrum grawitacyjnego o masie M_1, a ciało C_2 krąży po orbicie O_2 wokół centrum grawitacyjnego o masie M_2. Zakładamy, że na każde z tych ciał działa jedynie siła pochodząca od centrum grawitacyjnego, dookoła którego dane ciało krąży. Stosunek mas M_1 i M_2 można obliczyć ze wzoru:

    \[\frac{M_1}{M_2}=\left(\frac{a_1}{a_2}\right)^3\cdot\left(\frac{a_2}{a_1}\right)^2\]


gdzie: T_1 i T_2 są okresami obiegu ciał po orbitach – odpowiednio – O_1 i O_2, natomiast a_1 i a_2 zależą od rodzaju orbity:

  • gdy orbity O_1 i O_2 są kołowe, to a_1 i a_2 są odpowiednio promieniami tych orbit
  • gdy orbita O_1 jest eliptyczna, a orbita O_2 jest kołowa, to a_1 jest długością półosi wielkiej orbity O_1, natomiast a_2 jest promieniem orbity O_2.
Rozwiązanie Zadania 5.3

Masę obiektu Sgr A* oznaczymy jako M_{SA}, a masę Słońca oznaczymy jako M_S Przyjmij, że Ziemia porusza się dookoła Słońca po orbicie kołowej o promieniu a_Z=1.0 au
z okresem obiegu T_Z=1.0 rok. Długość półosi wielkiej orbity gwiazdy S2, poruszającej się wokół obiektu Sgr A*, zgodnie z oznaczeniami na rysunku 1. (strona 12), jest równa \frac{|PA|}{2} Oblicz iloraz \frac{M_1}{M_2}. Zapisz obliczenia. Wynik podaj zaokrąglony do dwóch cyfr znaczących.

Zadanie to wymaga użycia wzoru podanego informacji do zadania. Wzór ten to:

    \[\frac{M_{1}}{M_{2}} = \left(\frac{a_{1}}{a_{2}}\right)^3 \left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)^2\]

Gdzie wszystkie oznaczenia są zgodne z oznaczeniami w informacji do zadania.

W naszym zadaniu M_{1} to masa obiektu Sgr A* M_1=M_{SA}, M_{2} to masa Słońca M_2=M_S, a_{1} to długość półosi orbity S2, a_{2} to promień orbity Ziemi (1 au), T_{1} to okres obiegu S2 (16 lat), a T_{2} to okres obiegu Ziemi (1 rok). Podstawiamy te wartości do wzoru:

    \[\frac{M_{SA}}{M_{S}} = \left(\frac{\frac{|PA|}{2}}{1 \, \text{au}}\right)^3 \left(\frac{1 \, \text{rok}}{16 \, \text{lat}}\right)^2\]

Podstawiamy wartość |PA|:

    \[\frac{M_{SA}}{M_{S}} = \left(\frac{\frac{r_{P} + r_{A}}{2}}{1 \, \text{au}}\right)^3 \left(\frac{1 \, \text{rok}}{16 \, \text{lat}}\right)^2 = \left(\frac{970}{1}\right)^3 \left(\frac{1}{16}\right)^2 \approx 3.57 \times 10^{6}\]

Rozwiązanie Zadania 5.4

Wyprowadź wzór podany w informacji do zadań 5.3.–5.4. w przypadku, gdy orbity O_1 i O_2 są kołowe.

W przypadku gdy orbita jest kołowa. Mamy doczynienia z ruchem jednostajnym po okręgu w którym rolę siły dośrodkowej pełni siła przyciągania grawitacyjnego. Możemy zatem zapisać następujące przekształcenia:

    \[F_{g}=F_{d}\]


    \[G\frac{Mm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}\]


    \[G\frac{M}{r}=v^2\]

Prędkość w ruchu jednostajnym po okręgu możemy zapisać jako: v=\frac{2\pi r}{T} gdzie T to okres pełnego obiegu. Podstawiając prędkość do otrzymanej wyżej zależności dostajemy:

    \[G\frac{M}{r}=\left(\frac{2\pi r}{T}\right)^2\]


    \[G\frac{M}{r}=\frac{4\pi^2 r^2}{T^2}\]


    \[\frac{MT^2}{r^3}=\frac{4\pi^2}{G}\]

Otrzymujemy zatem wniosek że wielkość \frac{MT^2}{r^3} jest zawsze stała – dla każdej planety planety we wszechświecie, dla każdej gwiazdy otaczającej inną gwiazdę. Dla każdej izolowanej pary ciał oddziałujących grawitacyjnie.

Skoro ta wielkość jest stała to możemy przyrównać ją dla jakichś dwóch ciał i otrzymać:

    \[\frac{M_1T_1^2}{r_1^3}=\frac{M_2T_2^2}{r_2^3}\]


    \[\frac{M_{1}}{M_{2}} = \left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^3 \left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)^2\]

Co należało wyprowadzić.

Podsumowanie:

To zadanie zdecydowanie zasługuje na miano długiego! Spośród wszystkich rozwiązania zadań z matury z fizyki to zadanie było najdłuższe. Na arkuszu maturalnym zajmowało aż 4 strony! Rozwiązanie tego zadania wymagało wcześniejszego doświadczenia z prawami Kepplera. Ponadto wymagało umiejętności wyprowadzenia wzorów, co często może sprawiać trudności. No i również aby rozwiązać to zadanie trzeba się było go nie przestraszyć ;D Oceniłbym to zadanie na trudne.

80
Poziom trudności

Rozwiązanie zadania 6 - Porównanie przemian izobarycznej i izochorycznej

Rozwiązanie zadania 6 – Porównanie przemian izobarycznej i izochorycznej

Treść zadania:

W cylindrze szczelnie zamkniętym ruchomym tłokiem znajduje się n = 1 mol jednoatomowego gazu doskonałego. Ten gaz poddano kolejno dwóm przemianom.

  • W pierwszej przemianie gaz ogrzewano, utrzymując stałą objętość, i dostarczono do tego gazu Q_1 = 100 J ciepła.
  • W drugiej przemianie gaz ogrzewano, utrzymując stałe ciśnienie, i dostarczono do tego gazu Q_2 = 100 J ciepła, czyli tę samą ilość ciepła, ile dostarczono w pierwszej przemianie.
    Ciepło molowe tego gazu przy stałej objętości wynosi C_v=\frac{3}{2}R, gdzie R jest stałą gazową.

Rozwiązanie:

Rozwiązania Zadania 6.1
W pierwszej przemianie wartość siły parcia gazu na tłok jest wprost proporcjonalna do temperatury bezwzględnej tego gazu.PrawdaPodczas procesu izochorycznego (stała objętość), wartość siły parcia gazu na tłok jest wprost proporcjonalna do temperatury bezwzględnej tego gazu. To wynika bezpośrednio z równania stanu gazu doskonałego pV = nRT, gdzie p to ciśnienie, V to objętość, n to liczba mol, R to uniwersalna stała gazowa, a T to temperatura.
W drugiej przemianie objętość gazu w cylindrze jest wprost proporcjonalna do średniej energii kinetycznej cząsteczek tego gazu.Prawda Podczas procesu izobarycznego (stałe ciśnienie), objętość gazu w cylindrze jest wprost proporcjonalna do Temperatury. Temperatura bezwzględna natomiast jest średnią energią kinetyczną cząsteczek gazu. Proporcjonalność tą znowu można wyprowadzić z równania stanu gazu doskonałego.
Rozwiązania Zadania 6.2

Przyrost temperatury gazu w pierwszej przemianie oznaczymy jako \Delta T_1, a w drugiej
przemianie – jako \Delta T_2.
Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C i jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.
Przyrosty temperatury gazu w opisanych przemianach spełniają relację

W tym przypadku musimy skorzystać z pierwszej zasady termodynamiki, która mówi, że ciepło dostarczone do systemu zostanie zużyte na zwiększenie energii wewnętrznej systemu i na wykonanie pracy przez system.

Dla pierwszej przemiany, nie wykonujemy żadnej pracy (ponieważ objętość jest stała), więc całe ciepło jest zużywane na zwiększenie energii wewnętrznej systemu.

W drugiej przemianie, gaz wykonuje pracę na tłoku podczas rozszerzania, więc nie całe ciepło jest zużywane na zwiększenie energii wewnętrznej systemu.

Odpowiedź to A. Δ????1 > Δ????2, ponieważ przyrost energii wewnętrznej gazu jest większy w pierwszej przemianie.

Rozwiązania Zadania 6.2

Oblicz pracę, którą wykonała siła parcia gazu na tłok w drugiej przemianie. Zapisz obliczenia.

Aby obliczyć pracę wykonaną przez gaz w drugiej przemianie, musimy najpierw obliczyć zmianę objętości gazu. Skoro proces jest izobaryczny (ciśnienie jest stałe), możemy skorzystać ze wzoru na pracę postaci: W = p \Delta V.

Ale musimy pamiętać, że dostarczone ciepło jest wykorzystywane na zwiększenie energii wewnętrznej systemu i na wykonanie pracy przez system.

    \[Q = \Delta U + W\]

Podstawiając wartości, otrzymujemy:

    \[100 J = nC_{V}\Delta T + p\Delta V\]

Z równania Clapeyrona możemy wyznaczyć \Delta T

    \[p \Delta V=nR\Delta T\]


    \[\frac{p \Delta V}{nR}=\Delta T\]

Podstawiając \Delta T do I Zasady termodynamiki otrzymuję:

    \[100 J = nC_{V}\frac{p \Delta V}{nR} + p\Delta V\]


    \[100 J = p\Delta V\left(1+\frac{C_v}{R}\right)\]


    \[100 J = p\Delta V\left(1+\frac{3}{2}\right)\]


    \[100 J = p\Delta V\cdot \frac{5}{2}\]


    \[100 J \cdot \frac{2}{5}= p\Delta V\]


    \[40 J = p\Delta V\]

Czyli ostatecznie gaz wykonał pracę 40J.

Podsumowanie:

Było to stosunkowo proste zadanie z termodynamiki. Nieco bardziej krytycznym miejscem w których mógł się pojawić błąd były znaki w I Zasadzie Termodynamiki. Takie rozwiązania zadań z matury z fizyki aż miło się rozwiązuje. 🙂

25
Poziom trudności

Rozwiązanie zadania 7 - Proton w skokowo zmiennym polu magnetycznym

Rozwiązanie zadania 7 – Proton w skokowo zmiennym polu magnetycznym

Treść zadania:

Proton poruszał się w próżni, w polu magnetycznym po torze, który składał się z półokręgów |AF|,|FB|,|BE|,|EC|,|CD| Na każdym z tych półokręgów wektor indukcji magnetycznej był prostopadły do płaszczyzny ruchu protonu i miał stałą wartość, ale dla różnych półokręgów wartości te były różne i wynosiły – odpowiednio –|BAF|, |BFB|,|BBE|,|BEC|, |BCD|. W chwili początkowej t_a=0 proton znajdował się w punkcie A i miał prędkość v (prostopadłą do wektora indukcji magnetycznej). Wartość wektora indukcji magnetycznej na półokręgu AF wynosiła BAF= 0,2 T.

Rozwiązanie:

Rozwiązanie Zadania 7.1
Wektor indukcji pola magnetycznego wzdłuż całego toru ruchu protonu
ma zwrot przed płaszczyznę rysunku (tzn. w stronę patrzącego).
Korzystając z reguły prawej dłoni dla elektronu w dowolnej chwili (dla uproszenia w chwili początkowej). Prędkość elektronu jest kierowana do góry, siła Lorenza w prawo. Zatem wektor indukcji pola magnetycznego musi być skierowany do obserwatora, czyli „przed płaszczyznę rysunku”Prawda
Wartość siły magnetycznej Lorentza działającej na proton jest stała na
całej długości toru od punktu A do punktu D
Wartość siły magnetycznej Lorentza, która działa na ładunek poruszający się w polu magnetycznym, jest zadana wzorem F_{B}=qvB, Siła ta pełni rolę siły dośrodkowej, która zakręca elektron. Z przyrównania siły dośrodkowej do siły Lorezna dostajemy qvB=\frac{m v^2}{r}, wartości q,m oraz v muszą być stałe, zatem aby promień malał to indukcja pola magnetycznego musi rosnąć.Fałsz
Czas ruchu protonu po każdym z półokręgów AF,FB,BE,EC,CD jest taki samCzas ruchu protonu po każdym z półokręgów nie jest taki sam, ponieważ wraz ze zmniejszaniem się okręgów maleje droga jaką elektron ma do pokonania. Natomiast jego prędkość pozostaje stała. W związku z czym czas ruchu po każdym z półokręgów musi malećFałsz
Rozwiązanie Zadania 7.2

Wykaż, że wartość prędkości protonu w ruchu po każdym z półokręgów jest stała. Powołaj się na:

  • odpowiednie własności siły działającej na proton oraz
  • zasady dynamiki albo odpowiednie twierdzenie o energii kinetycznej.

Siła Lorezna jest dana wzorem \vec{F}_l=q\vec{v}\cross \vec{B}. Z własności iloczynu wektorowego wiemy że wektor \vec{F}_l musi być prostopadły do wektorów \vec{v} i \vec{B}.

Przemieszczenie ciała w drobnym czasie \Delta t możemy zapisac jako \Delta\vec{s}\vec{v}\Delta t. Widać zatem że przemieszczenie jest styczne do wektora prędkości.

Jeśli zapiszemy wzów na pracę siły Lorenza wykonaną na drodze \Delta\vec{s}:dostaniemy:

    \[\Delta W = \Delta\vec{s}\cdot \vec{F}_l\]

Gdzie \cdot oznacza iloczyn skalarny. Ale jeśli wektor \vec{s} ma taki sam kierunek jak wektor \vec{v}, a wektor \vec{F}_l jest prostopadły do wektora \vec{v} to znaczy że wektor \vec{s} również musi być prostopadły do wektora \vec{F}_l. A iloczyn skalarny wektorów prostopadłych z daje 0! Zatem siła Lorenza nie wykonuje pracy, a co za tym idzie energia kinetyczna (i prędkość) cząsteczki są stałe!

Rozwiązanie Zadania 7.3

Oblicz wartość BCD wektora indukcji pola magnetycznego działającego na proton, gdy poruszał się on po półokręgu CD. Zapisz obliczenia.
Wskazówka: Wartość prędkości protonu poruszającego się po torze AFBECD była stała.

Z rysunku z treści zadania widzimy że r_{as}=3\cdot r_{cs}

Ponieważ siła Lorenza pełni rolę siły dośrodkowej, możemy zapisać kolejno:

    \[qvB=\frac{m v^2}{r}\]


    \[qB=\frac{m v}{r}\]


    \[qB=\frac{m v}{q r}\]

Z ostatniego równania możemy wyciągnąć proporcję:

    \[Br=const.\]

Co oznacza że skorok na odcinku CD mamy 3 razwy mniejszy promień w porównaniu z odcinkiem AF to musimy mieć 3 razy większe pole magnetyczne. Zatem.

    \[B_{CD}=3B_{AF}=0.6T\]

Podsumowanie:

W tym zadaniu najważniejsze było zauawżenie że prędkość w całym ruchu jest stała (co znacząco ułatwiała podpowiedź z zadania 7.3). Ponadto niezbędne było również zauważenie że siła Lorenza Pelni rolę siły dośrodkowej. Ponieważ to rozwiązanie zadaia z matury z fizyki wymaga wyprowadzenia relacji między B i r powiedział bym że jest ono średniej trudności. średni poziom trudnkości, ponieważ wymagało wyprowadzenia w

40
Poziom trudności

Rozwiązanie zadania 8 - Żarówka Wolframowa

Rozwiązanie zadania 8 – Żarówka Wolframowa

Treść zadania

Do produkcji włókien tradycyjnych żarówek wykorzystywano bardzo cienkie druty wolframowe. Gdy przez włókno wolframowe pewnej żarówki płynął prąd o niewielkim natężeniu, to włókno utrzymywało temperaturę T_0=300K, a jego opór wynosił R_0\approx 65 \Omega. Po podłączeniu tej żarówki do sieci o napięciu 230 V pobierała ona moc (znamionową) 60 W. Wówczas włókno rozgrzewało się do wysokiej temperatury, a jego opór był wielokrotnie większy od R_0. Na poniższym wykresie linią ciągłą przedstawiono zależność \frac{R}{R_0} od temperatury T, gdzie R oznacza opór włókna wolframowego o temperaturze T. W zakresie temperatur od 300 K do 1000 K ta zależność ma w przybliżeniu charakter liniowy (tzn. jej wykres pokrywa się częściowo z linią prostą narysowaną przerywaną kreską).

Rozwiązanie zadania

Rozwiązanie zadania 8.1

Oblicz \alpha – wartość temperaturowego współczynnika oporu wolframu – dla przedziału temperatur 300K<T<1000K. Zapisz obliczenia.

Wskazówka: Skorzystaj z Wybranych wzorów i stałych fizykochemicznych na egzamin maturalny z biologii, chemii i fizyki (strona 18 broszury).

W celu rozwiązania zadania skorzystajmy ze wzoru:

    \[\alpha = \frac{R - R_0}{R_0 \cdot (T - T_0)}\]

Gdzie:

  • R to opór włókna wolframowego przy temperaturze T
  • R_0 to opór włókna wolframowego przy temperaturze T_0
  • T to temperatura, dla której obliczamy współczynnik
  • T_0 to początkowa temperatura, dla której znamy opór

Z wykresu odczytujemy, że dla T = 1000 K mamy R/R_0 \approx 4.9. Zatem R = 4.9 \cdot R_0 = 4.9 \cdot 65 Ω = 318.5 Ω.

Podstawiamy do wzoru i obliczamy wartość \alpha:

    \[\alpha = \frac{318.5 Ω - 65 Ω}{65 Ω \cdot (1000 K - 300 K)} = 0.00557 \frac{1}{K}\]

Rozwiązanie Zadania 8.2

Wyznacz temperaturę włókna wolframowego żarówki (opisanej w zadaniu 8.) o mocy znamionowej P_z=60W, zasilanej napięciem U_z=230V. Zapisz obliczenia.

Skorzystamy z relacjami między mocą P oraz oporem R i napięciem U:

    \[P = \frac{U^2}{R}\]

Znamy moc znamionową P_z = 60 W i napięcie U_z = 230 V. Zatem opór R wynosi:

    \[R = \frac{U_z^2}{P_z} = \frac{(230 V)^2}{60 W} = 881.7 Ω\]

Stosunek tego oporu do oporu R_ to R/R_0 \approx 13.56. zgodnie z wykresem z treści zadania opór ten odpowiada temperaturze T=2550K

Rozwiązanie Zadania 8.3

Średnica drutu wolframowego, z którego wykonano włókno żarówki, jest równa 30 \micro m. Opór właściwy wolframu w temperaturze T_0=300K jest równy \rho_0=5.6\cdot 10^{-8} \Omega\cdot m. Oblicz długość drutu wolframowego, z którego wykonano włókno tej żarówki. Zapisz obliczenia.

Trzecia część zadania polegała na obliczeniu długości drutu wolframowego, z którego wykonano włókno tej żarówki. Skorzystajmy ze wzoru na opór włókna:

    \[R_0 = \rho \cdot \frac{l}{S}\]

Gdzie:

  • \rho to opór właściwy
  • l to długość drutu
  • S to powierzchnia przekroju

Wiemy że średnica drutu d = 30 \micro m = 30 \cdot 10^{-6} m, zatem promień r = d/2 = 15 \cdot 10^{-6} m.

Powierzchnia przekroju wynosi S = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (15 \cdot 10^{-6} m)^2 = 7.07 \cdot 10^{-10} m^2.

Znamy wartość R_0 = 65 Ω oraz \rho = 5.6 \times 10^{-8} \Omega \cdot m. Zatem długość drutu wynosi:

    \[l = \frac{R_0 \cdot S}{\rho} = \frac{65 \Omega \cdot 7.07 \times 10^{-10} m^2}{5.6 \times 10^{-8} \Omega \cdot m} = 0.82 m\]

Podsumowanie

Rozwiązanie tego zadania z matury z fizyki mogło być skomplikowane ze względu na konieczność wykorzystania wzoru z którym mamy mało doświadczenia. Ponadto trudność stanowiło poprawne odczytanie danych z wykresu (zwłaszcza w zadaniu 8.2)

50
Poziom trudności

Rozwiązanie zadania 9 - Szklany krążek

Rozwiązanie zadania 9 – Szklany krążek

Promień światła monochromatycznego biegnie w powietrzu i pada na brzeg szklanego krążka w punkcie A. Kąt padania w punkcie A jest równy \alpha, a kąt załamania tego promienia jest równy \beta. Część promienia, która wniknęła do szkła w punkcie A, pada dalej na brzeg krążka w punkcie D. Na rysunku 1. (poniżej) oraz na rysunku 2. (na stronie 23) przedstawiono bieg promienia tylko do punktu D, przy czym pominięto część promienia odbitą w punkcie A. Kreskami przerywanymi oznaczono odcinki pomocnicze. Punkt O jest środkiem krążka.

Rozwiązanie zadnia 9.1

Część promienia AD, która pada na brzeg krążka od strony szkła w punkcie D, odbija się z powrotem do szkła, a część tego promienia załamuje się i biegnie dalej w powietrzu. Kąty: padania, załamania i odbicia promienia AD w punkcie D, oznaczymy – odpowiednio – jako: \gamma_{pad}, \gamma_{zał}, \gamma_{odb}. Narysuj na rysunku 1. dalszy bieg promienia załamanego i odbitego w punkcie D. Oznacz łukami i podpisz w odpowiednich miejscach kąty: \gamma_{zał}, \gamma_{odb}, a następnie określ relacje między miarami odpowiednich kątów – wpisz w każde wykropkowane miejsce odpowiedni znak wybrany spośród: >, =, <.

Ponieważ DOB jest trójkątem równoramiennym możemy zapisać że \gamma_{pad}=\beta. Zgodnie z prawem odbicia mamy \gamma_{pad}=\gamma_{odb}=\beta. Kąt załamania natomiast będzie taki sam jak kąt \alpha co widać z prawa Snella:

    \[\sin \alpha=n\sin \beta=n\sin \gamma_pad=\sin \gamma_{zal}\]

Z prawa Snella widzimy również że \beta < \alpha

\gamma_{pad}=\gamma_{odb}\gamma_{pad}<\gamma_{zal}\gamma_{zal}=\alpha

Rozwiązanie zadania 9.2

Na rysunku 2. odcinek AC jest geometrycznym przedłużeniem promienia padającego na krążek. Długości odcinków oznaczonych na rysunku 2. wynoszą (w zaokrągleniu): |AB| \approx 9,0 \, cm, |AC| \approx 4,5 \, cm, |AD| \approx 7,7 \, cm, |BC| \approx 7,8 \, cm, |BD| \approx 4,8 \, cm Przyjmij, że wartość prędkości światła w powietrzu jest równa wartości prędkości światła w próżni.
Oblicz wartość prędkości światła w szkle, z którego jest wykonany krążek. Zapisz obliczenia. Wykorzystaj niektóre z podanych długości odcinków. Wynik podaj zaokrąglony do dwóch cyfr znaczących.

To zadanie musimy zacząć od definicji współczynnika załamania światła n=\frac{c}{v}, gdzie v to prędkość światła w ośrodku, natomiast c to prędkość światła w próżni. Aby wyznaczyć współczynnik załamania światła skorzystamy z prawa Załamania; \sin \alpha=n\sin \beta.

Wyznaczenie sinusów kątów padania i załamania jest możliwe dzięki podanym wartością odcinków na rysunku powyżej. Zapiszemy:

    \[\sin \alpha =\frac{|BC|}{|AB|}\]


    \[\sin \beta =\frac{|BD|}{|AB|}\]

Łącząc równania w całość:

    \[v=\frac{c}{n}=c\frac{\sin\beta}{\sin \alpha}=c\frac{\frac{|BD|}{|AB|}}{\frac{|BC|}{|AB|}}=c\frac{BD}{BC}\]

Podstawiając wartości dostajemy:

    \[v=\approx 3\cdot 10^8\cdot\frac{4.8}{7.8}\frac{m}{s}=1.85\cdot 10^8\frac{m}{s}\]

Opinia

To zadanie wymagało znajomości praw odbicia i załamania oraz biegłości w geometrii umożliwiające zauważenie relacji niezbędnych w obu podpunktach zadań. Oceniłbym to zadanie na średnio trudne.

40
Poziom trudności

Rozwiązanie zadania 10 - Przyspieszający elektron

Rozwiązanie zadania 10 – Przyspieszający elektron

Treść zadania

Elektron o prędkości początkowej równej zero został rozpędzony w polu elektrycznym o napięciu U do prędkości o wartości v. Energia kinetyczna, którą uzyskał elektron, była dwa razy większa od jego energii spoczynkowej.

Rozwiązanie zadania 10.1

Na którym wykresie (spośród A–D) prawidłowo przedstawiono zależność energii całkowitej E (sumy energii kinetycznej i spoczynkowej) elektronu od jego prędkości? Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prędkość elektronu nie może przekroczyć c zatem wykresy A i C możemy od razu odrzucić. Energia spoczynkowa (czyli energia przy zerowej prędkości) wynosi mc^2 zatem możemy odrzucić D. Czyli jedyną możliwą odpowiedzią jest B.

Rysunek 1 z rozwiązania zadań z matury  z fizyki dla zadania 10.

Rozwiązanie zadania 10.2

Oblicz iloraz \frac{v}{c}, gdzie c jest wartością prędkości światła w próżni. Zapisz obliczenia. Wynik podaj zaokrąglony do dwóch cyfr znaczących.

Wiedząc, że energia kinetyczna elektronu jest dwa razy większa od jego energii spoczynkowej, możemy użyć równania Einsteina na energię całkowitą E=\frac{mc^2}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}} do obliczenia prędkości elektronu. Energia spoczynkowa to mc^2 natomiast energia kinetyczna to 2mc^2 zatem całkowita energia wyniesie 3mc^2

    \[3mc^2=\frac{mc^2}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}\]


    \[3=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}\]


    \[\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}=\frac{1}{3}\]


    \[1-\left(\frac{v}{c}\right)^2=\frac{1}{9}\]


    \[\frac{8}{9}=\left(\frac{v}{c}\right)^2\]


    \[\frac{\sqrt{8}}{3}=\frac{v}{c}\]


    \[v=c\frac{\sqrt{8}}{3}\]


    \[v=0.9428\cdot 2,998\cdot 10^8 \frac{m}{s}=2,826\cdot 10^8\approx 2.8\cdot 10^8\]


Rozwiązanie zadania 10.3

Energia spoczynkowa elektronu jest równa (w zaokrągleniu) E_0 \approx 5,1 \cdot 10^5 eV. Dokończ zdanie. Wpisz właściwą liczbę w wykropkowanym miejscu.
Napięcie U pola elektrycznego, w którym został rozpędzony elektron, wynosi ………………. V.

„Elektron uzyskał energię kinetyczną, która jest równa dwóm energiom spoczynkowym, więc energia kinetyczna elektronu wynosi 2E_0. Energia ta jest równa energii, jaką elektron uzyskał od pola elektrycznego, co daje nam 2E_0 = eU, gdzie e to ładunek elementarny. Stąd mamy U = \frac{2E_0}{e}. Teraz, skoro E_0 = 5,1 \cdot 10^5 eV, a e = 1 eV/V, to podstawiając do wzoru otrzymamy U = 2 \cdot 5,1 \cdot 10^5V =1,02 \cdot 10^6 V.

Podsumowanie

To zadanie na pierwszy rzut oka mogło wydawać się skomplikowane, ale kiedy zaczęliśmy je rozbijać na mniejsze kawałki, wszystko stało się jasne. Najtrudniejsze było zapewne poprawne zintepretowanie pojęć energii kinetycznej i całkowitej w kontekście relatywistycznym. To zadanie miało przede wszystkim miało straszyć swoim groźnym wyglądem. Trzeba jednak przyznać że dział relatywistka nie zyskuje odpowiedniej uwagi w szkole w związku z czym wiele osób mogło mieć z tym zadaniem problem.

40
Poziom trudności

Rozwiązanie zadania 11 - Radioaktywny Kopernik

Rozwiązanie zadania 11 – Radioaktywny Kopernik

Pierwiastek o nazwie kopernik, oznaczony symbolem Cn, ma liczbę atomową Z = 112. Izotop Cn_{277} tego pierwiastka został po raz pierwszy wytworzony w wyniku bombardowania ołowianej tarczy jonami cynku Zn_{70}. Kopernik Cn_{277} jest izotopem nietrwałym.

Uwaga: W zadaniach 11.1., 11.2., 11.3. skorzystaj z Wybranych wzorów i stałych fizykochemicznych na egzamin maturalny z biologii, chemii i fizyki.

Rozwiązanie zadania 11.1

Poniżej przedstawiono schemat reakcji jądrowej, w wyniku której powstają jądro izotopu Cn 277 oraz pewna cząstka.
Pb_{208} + … Zn_{70} → … Cn_{277} + …
Uzupełnij powyższy schemat tak, aby powstało równanie reakcji jądrowej. Wpisz w wykropkowane miejsca właściwe liczby atomowe oraz symbol lub nazwę cząstki, która powstaje w tej reakcji.

Aby rozwiązać to zadanie musimy odnieść się do układu okresowego pierwiastków i zlokalizować w nim wszystkie pierwiastki pojawiające się w równaniu.

Tablica mendelejwa wraż z oznaczeniami pierwiastów Zn, Cn, Pb niezbędnymi do rozwiązania zadania z matury z fizyki
Układ okresowy pieriwastów z tablic maturalnych. Źródło

    \[{82}^Pb_{208} + {30}^Zn_{70} \longrightarrow {112}^Cn_{277} + …\]

Liczba atomowa to liczba protonów w jądrze atomowym. Możemy o niej myśleć jako o ilości ładunków elementarnych. Ponieważ ładunek jest zachowany, liczby atomowe po obu stronach reakcji musza się sumować do tych samych wartości. – Oznacza to że szukana cząstka nie może mieć ładunku elektrycznego bowiem 82+30=112.

Liczba masowa (dolna liczba) reprezentuje sumaryczną ilość protonów i neutronów w jądrze. Możemy o niej myśleć jako o masie jądra, a co za tym idzie (zgodnie z zasadą zachowania masy) możemy oczekiwać że sumaryczna liczba masowa po obu stronach równania będzie identyczna. 208+70-277=1 – Okazuje się że tajemnicza cząstka musi mieć masę 1.

Poszukiwana cząstka musi być netrualna elektrycznie i mieć masę 1 protonu/neutronu – to musi być neutron 🙂

    \[{82}^Pb_{208} + {30}^Zn_{70} \longrightarrow {112}^Cn_{277} + {0}^n_{1}\]

Rozwiązanie zadania 11.2

W wyniku sześciu kolejnych rozpadów α, z których pierwszy jest rozpadem jądra Cn_{277}, powstało jądro pewnego pierwiastka.
Podaj nazwę lub symbol pierwiastka, którego jądro powstało w wyniku tych sześciu rozpadów. Zapisz obliczenia.

W wyniku każdego rozpadu \alpha emitowane jest jądro helu które zawiera dwa protony i dwa neutrony. Ma zatem liczbę masową 4 i atomową 2

{112}^Cn_{277}- 6\cdot 2^\alpha_{4} \longrightarrow {100}^X_{153}

Poszukujemy zatem pierwsiastka o liczbie atomowej 100. Takim pierwiastkiem jest Ferm {100}^Fm_{153}

Rozwiązanie zadania 11.2

Masa jądra izotopu Cn_{277} jest równa m_{Cn} = 460,138 852 \cdot 10^{-27} \, kg
Oblicz najmniejszą energię, którą należałoby dostarczyć do jądra Cn_{277}, aby rozbić je na oddzielne (tzn. nieoddziałujące ze sobą) nukleony. Zapisz obliczenia. Wynik podaj zaokrąglony do trzech cyfr znaczących.

Mamy tu do obliczenia najmniejszą energię, którą należałoby dostarczyć do jądra Cn_{277} aby rozbić je na oddzielne nukleony. Energia ta wynika z różnicy masy jądra i masy jego oddzielnych nukleonów i jest wyrażana przez słynny wzór Einsteina E=mc^2. Deficyt masy w jądrze kopernika wynosi:

    \[\Delta m= 112 m_p + (277-112) m_n -m_{Cn}=3.557657\cdot 10^{-27}kg\]

Co przekłada się na energię:

    \[E = mc^2 = 3.557657\cdot 10^{-27}kg\cdot \left(299 792 458 \frac{m}{s}\right)^2=3.20\cdot 10^{-10}\]

Podsumowanie

Zadania 11.1 i 11.2 wymagały przede wszystkim wiedzy czym są liczby atomowa i masowa. Te podpunkty ocenił bym na łatwe. Natomiast zadanie 11.3 wymagało bardzo precyzyjnych obliczeń i zapisania stałych fizycznych z odpowiednią dokładnością. Ze względu na podpunkt 11.3 uznałbym to zadanie za średnio trudne. Uff. Na tym Rozwiązania zadań z matury z fizyki 2023 możemy uznać za zakończone. 🙂

50
Poziom trudności

Rozwiązania zadań z matury z fizyki – moja opinia

Jestem pewien, że tegoroczne rozwiązania zadań z matury z fizyki przyniosły wiele zaskoczeń dla absolwentów. Egzamin objął swoim zakresem niezwykle szeroki spektrum dziedzin fizyki, odwołując się w wielu miejscach do tych elementów wiedzy, które często są zaniedbywane podczas nauki szkolnej (jak choćby relatywistka). Wiele osób mogło to zadanie odczuć jako trudne, jednak dla tych, którzy posiadali solidną wiedzę z konkretnych dziedzin, rozwiązania zadań z matury z fizyki nie powinien stanowić większego problemu.

Należy zwrócić uwagę na fakt, że pewne zadania, takie jak 11.3, wymagały przeprowadzenia bardzo dokładnych obliczeń, co mogło być dla niektórych wyzwaniem. W moim odczuciu najbardziej skomplikowane okazało się zadanie 5. Wymagało umiejętności planowania rozwiązania zadania, biegłości w przekształceniach algebraicznych, wiedzy z dziedziny astronomii i dynamiki. Ponadto to zadanie wyglądało groźnie czym mogło niektórych odstraszyć już na etapie czytania zadania.

Niektóre rozwiązania zadań z matury z fizyki były bardzo standardowe. Przykładowo zadania 1,2,3,6 i 7 są standardowymi zadanimi których jak należało się spodziewać.

Ostatecznie jednak ocena trudności tej matury będzie leżała w gestii maturzystów. Ja przedstawiam tutaj tylko rozwiązania zadań z matury z fizyki i swoje subiektywne opinie. 🙂

Gratulacje

Niezależnie od tego, czy rozwiązania zadań znalezione tutaj pokrywają się z twoimi czy nie, chciałbym ci pogratulować. Przez podjęcie wyzwania przygotowania się i napisania matury z fizyki, pokazujesz, że masz odwagę i determinację, niezbędną do tego by odkrywać niesamowity świat fizyki. Praca włożona w przygotowania, z pewnością zaowocuje w twoim życiu, niezależnie od tego, czy wybierzesz karierę naukową, czy będziesz kontynuować swoją edukację w innym kierunku.

To koniec naszej dzisiejszej podróży przez rozwiązania zadań z matury z fizyki 2023. Mam nadzieję że znalazłeś/znalazłaś tutaj odpowiedzi dokładnie takie jakich się spodziewałeś/spodziewałaś i że udało mi się przedstawić zadania maturalne z nieco ciekawszej perspektywy,

Jeśli zechcesz kontynuować swoją podróż po świecie fizyki to w Fizyce Olimpijskiej mamy wspaniałych przewodników – Tutorów którzy prowadzą profesjonalne korepetycje z fizyki dla maturzystów i studentów. Nasza misja to nie tylko przekazywanie wiedz ale także, a może nawet przede wszystkim, dzielenie się naszą pasją do fizyki.

Na zakończenie, chciałbym cię zachęcić do polubienia naszego instagrama – to kilka sekund twojego czasu a dla nas to znak że nasza praca była dla ciebie przydatna. 🙂

Jestem ciekawy twojej opinii, co uważasz o tej maturze? które zadania były dla Ciebie najtrudniejsze? czy jakieś rozwiązania zadań z matury z fizyki 2023 były dla ciebie zaskakujące?

0 0 votes
Article Rating
Subscribe
Powiadom o
guest
4 komentarzy
najstarszy
najnowszy oceniany
Inline Feedbacks
View all comments
Dami

W zad. 3.1. poprzesuwały się Wam odpowiedzi i ich uzasadnienia

Kamil

Czy w zadaniu 7.2 nie jest łamana zasada zachowania momentu pędu? Nie ma zewnętrznego momentu siły, maleje promień, a jednak prędkość pozostaje taka sama