Zadania z równią pochyłą

Rozpisywanie sił na równi pochyłej śni Wam się po nocach, a mimo to dalej gubisz się jak to zrobić? A może dopiero zaczynasz swoją przygodę z tym zagadnieniem, ale nawet nie wiesz od czego zacząć zadania tego typu? Tutaj będziesz mógł zobaczyć krok po kroku metodologię rozwiązywania zadań z równią. Warto podkreślić, że zadania z równią pochyłą są niezwykle częste na konkursie o Diamentowy Indeks AGH. Zatem jeśli myślisz o podejściu do niego to ten temat zdecydowanie Ci się przyda! Konkurs z Fizyki o diamentowy indeks AGH jest świetną możliwością dla osób radzących sobie lepiej z tą nauką. Jego poziom jest nieznacznie wyższy niż matury rozszerzonej, a zdobycie tytułu zapewnia nie tylko łatwe dostanie się na wybrany na AGH kierunek, ale również wiąże się z możliwością na otrzymanie stypendium. Poznaj tajniki rozwiązywania zadań z równią z doświadczonymi korepetytorami z Fizyki Olimpijskiej.

Rozwiązywanie zadań z równią pochyłą – teoria i przykłady

Pierwszym i najważniejszym krokiem, żeby poradzić sobie z zadaniami na równi pochyłej jest prawidłowe rozrysowanie sił działających w układzie. Siła, która będzie pojawiać się zawsze to siła ciążenia, a dodatkowo bardzo często w zadaniach z równią pojawia się siła tarcia. Każda siła, każdy wektor mogą być rozpisane na składowe. Zazwyczaj w zadaniach z fizyki wektory rozpisujemy tak, żeby mieć składowe poziome i pionowe. Jednak w zadaniach z równią pochyłą rozpisanie sił na składowe prostopadłe i równoległe do równi znacznie bardziej ułatwi nam zadanie. Żeby rozrysować dany wektor musimy sobie narysować prostokąt, w którym wektor, który rozpisujemy jest naszą przekątną. Wtedy linie budujące prostokąt będą składowymi wektora podstawowego. Poniżej na rysunku możesz zobaczyć przykład rozpisania wektora na składowe poziome i pionowe oraz już na równi pochyłej (na przykładzie siły ciążenia).

Równia pochyła z siłą grawitacji rozłożoną na składowe - pionową i poziomą

To co jest również ważne znalezienie wzorów na każdą ze składowych w zależności od wektora podstawowego. Zazwyczaj w zadaniach mamy podany kąt nachylenia równi pochyłej (na naszym rysunku zaznaczony jako alfa). Jeśli kąt nie jest podany to raczej znane są inne parametry równi (np. wysokość, długość), z których można go obliczyć. Korzystając z tego, że wektor podstawowy jest równoległy do wysokości równi, a wektor Fx jest równoległy do jej zbocza możemy zauważyć, że kąt między tymi wektorami równy jest różnicy kąta prostego i kąta alfa. Natomiast kąt między wektorem Fy i F jest równy kątowi alfa. Żeby nie pogubić się w kątach możemy sobie przerysować powstały trójkąt w bardziej przejrzysty dla nas sposób (rysunek poniżej). Korzystając z tego rysunku i ze znajomości zależności trygonometrycznych możemy sobie wyznaczyć wzory na każdą ze składowych wektora.

Rozkład siły grawitacji na składowe poziomą Fx i pionową Fy

Wzory na siły - zadania z równią pochyłą

W ten sposób jesteśmy w stanie rozpisać każdą siłę, która pojawi nam się na równi. Gdy uda nam się już to zrobić możemy wtedy przejść do standardowego sposobu rozwiązywania zadań z dynamiki. Można wtedy stosować te same wzory, które zastosowalibyśmy na płaskim podłożu. Na przykład w zależności od potrzeb mogą to być: zasady dynamiki Newtona albo wzory na drogę, prędkość w ruchu prostoliniowym. Oczywiście w przypadku kiedy w zadaniu mamy powiedziane, że pomijamy siły oporu możemy również korzystać z zasady zachowania energii.

Równia pochyła i toczenie – teoria

Siły działające na toczące się ciało po równi pochyłej - Siła Tarcia oraz Siła grawitacji rozłożona na składowe.

W przypadku toczenia się ciał po równi pochyłej mamy sytuację analogiczną do tej, gdy ciała się z niej zsuwają. Zatem kluczowe jest prawidłowe rozrysowanie sił działających na ciało, a później stosujemy wzory takie jak w ruchu po płaskiej powierzchni. Toczenie, jak może pamiętacie, jest ruchem będącym złożeniem ruchu obrotowego i ruchu postępowego. W przypadku toczenia bez poślizgu ważne jest zapamiętanie warunku jaki musi spełniać siła tarcia, tj. musi być mniejsza od iloczynu współczynnika tarcia i siły nacisku. Gdy mamy do czynienia z toczeniem z poślizgiem siła tarcia jest równa temu iloczynowi. Pamiętajcie również o tym, żeby w przypadku toczenia zapisać zarówno równania dynamiki dla ruchu postępowego, jak i obrotowego. To dwa razy więcej informacji!

Toczenie bez poślizgu $T \leq \mu N$

Przykładowe zadania z równią pochyłą

Poniższe zadania pochodzą z konkursu o Diamentowy Indeks AGH. Przejdziemy przez nie krok po kroku, aby nic nie stanowiło dla Was tajemnic.

Zadanie z równią z konkursu o diamentowy indeks 2007/2008 – I – 4

Ciało spoczywa na równi pochyłej o zmiennym kącie nachylenia. Przy jakim kącie ciało zacznie się zsuwać z równi, jeżeli współczynnik tarcia wynosi 0.577?

Rozwiązanie zadania:

Dane: współczynnik tarcia f = 0.577
Szukane: kąt nachylenia równi $\alpha$

W pierwszej kolejności, tak jak powiedzieliśmy wcześniej należy rozrysować sobie wszystkie siły działające w układzie

W tym przypadku musimy uważać na zagadnienie tarcia. Wyróżniamy tarcie statyczne i tarcie kinetyczne. Tarcie statyczne występuje, gdy ciało się nie porusza i jest wtedy równe sile, którą równoważy, czyli u nas sile F. Tarcie statyczne może zatem przyjmować wartości z zakresu od 0 do wartości tarcia maksymalnego $T_{max}$ . Gdy stykające się powierzchnie poruszają się względem siebie występuje tarcie kinetyczne. Jego wartość zależy od stykających się materiałów i jest równa iloczynowi siły nacisku i współczynnikowi tarcia.

Z rysunku odczytujemy wartość siły zsuwającej $F_s=Q\sin \alpha$ .
I wartość siły nacisku $N=Q\cos \alpha$ .
Gdy ciało spoczywa na równi wtedy występuje równowaga sił, więc siła tarcia jest równa sile zsuwającej: $F_s=T$
Tarcie jest wtedy mniejsze lub w granicznym punkcie równe tarciu maksymalnemu.

Gdy kąt nachylenia jest maksymalny zachodzi równość siły zsuwającej i siły tarcia określonej jako iloczyn współczynnika tarcia i siły nacisku.

Zatem kąt 30 stopni będzie kątem granicznym. Gdy kąt nachylenia równi będzie większy tarcie statyczne przejdzie w tarcie kinetyczne i ciało zacznie się zsuwać.

Zadanie z równią z konkursu o diamentowy indeks 2008/2009 – II – 2

Obręcz stacza się bez poślizgu lub z poślizgiem w zależności od kąta nachylenia równi pochyłej (mogącego przyjmować wartości z zakresu od małych kątów aż do 90 stopni). Zakładając, że prędkość początkowa obręczy jest równa zero, oblicz prędkość liniową obręczy po pokonaniu przez nią stałej różnicy wysokości h. Zrób wykres zależności prędkości końcowej od kąta nachylenia równi. Załóż, że współczynnik tarcia obręczy o równię wynosi f = 0.5. Moment bezwładności obręczy wyrażony jest wzorem I = mR² . Na wykresie znormalizuj prędkość końcową obręczy do prędkości swobodnego spadku ciała z wysokości h.

Rozwiązanie zadania:

Szukane: $v(\alpha)$

Najpierw przeanalizujmy ruch bez poślizgu:

Rozpiszmy równania dynamiki, pamiętając zarówno o ruchu postępowym, jak i o kołowym:

Wykorzystując podane informacje otrzymamy wzór na tarcie:

Podstawiając do pierwszego równania z równań dynamiki:

Mamy tutaj do czynienia z ruchem jednostajnie przyspieszonym możemy zatem następujące zależności:

gdzie drogę możemy przedstawić jako iloczyn sinusa kąta nachylenia równi i jej wysokości, a pod przyspieszenie podstawić możemy wzór, który wcześniej wyznaczyliśmy sobie z równań dynamiki:

Teraz należy jedynie porównać wyznaczony wzór z prędkością w spadku swobodnym ( $v_s$ ):

Od razu można zauważyć, że prędkość końcowa w ruchu bez poślizgu nie zależy od kąta nachylenia równi.

Ruch z poślizgiem:

Tarcie możemy rozpisać jako iloczyn współczynnika tarcia i siły nacisku, korzystamy z tego wyznaczając przyspieszenie:

Następnie ponownie korzystamy z wyznaczonego wzoru na prędkość:

Z powyższego wzoru możemy wywnioskować, że w ruchu z poślizgiem prędkość kątowa zależy od kąta nachylenia równi. W celu narysowania wykresu musimy obliczyć jeszcze kąt graniczny, przy którym ruch bez poślizgu przechodzi w ruch z poślizgiem. Dokonamy tego wykorzystując warunek dotyczący tarcia.

Na podstawie wszystkich zebranych informacji możemy narysować poniższy wykres.

Zależność prędkości końcowej ciała staczającego się z równi pochyłej od kąta nachylenia tej równi.

Zadanie z równią z matury próbnej z 2023 roku

Zadania z równią pochyłą o podobnym poziomie trudności do zadań z Diamentowego Indeksu AGH często pojawiają się na maturze. Przeanalizujmy zatem zadanie które pojawiło się w 2023 roku na maturze próbnej przygotowanej przez OPERON. Oto treść zadnia:

Jednorodna kulka o promieniu $r = 1 \text{ cm}$ stacza się bez poślizgu po równi nachylonej do poziomu pod kątem $\alpha = 30^\circ$ , następnie toczy się po poziomym stole i spada z niego na podłogę. Początkowo kulka spoczywa, a wysokość jej środka nad blatem stołu wynosi $h = 25 \text{ cm}$ . Wysokość blatu stołu nad podłogą wynosi $H = 75 \text{ cm}$ . Moment bezwładności jednorodnej kulki o masie $m$ i promieniu $r$ względem osi przechodzącej przez jej środek wynosi $I = \frac{2}{5} mr^2$ . Moment bezwładności walca wynosi $I = \frac{1}{2} mr^2$ . Pomijamy tarcie toczne i opory powietrza.

Oblicz, w jakiej odległości $z$ od stołu kulka spadnie na podłogę.

Rozwiązanie zadania

Ruch kulki możemy podzielić na trzy fazy:

Faza I: Staczanie się z równi

Faza II: Toczenie się po stole

Faza III: Rzut poziomy

Faza I ruchu – staczanie z równi

Rozpocznijmy od Fazy I. W jej fazie kulka toczy się bez poślizgu po równi.

Brak poślizgu – Ponieważ kulka nie ślizga się, możemy zapisać relację między prędkością liniową kulki $v$ i prędkością kątową $\omega$ – $v=\omega r$ .

Brak poślizgu oznacza również że występuje jedynie tarcie statyczne, które nie wykonuje pracy. Oznacza to że suma energii kinetycznej i energii mechanicznej będzie zachowana. Porównajmy zatem energię kulki na szczycie równi i na dole.

Energia początkowa: $E_p=mgh$ – na początku mamy jedynie energię potencjalną

Energia końcowa: $E_k=\frac{mv^2}{2}+\frac{I\omega^2}{2}$ , co po skorzystaniu z warunku braku poślizgu $v=\omega r$ prowadzi nas do $E_k=\frac{\left(m+\frac{I}{r^2}\right)v^2}{2}$ . Podstawiając moment bezwładności kulki do równania $I=\frac{2}{5}mr^2$ otrzymujemy

$E_k = \frac{\left(m+\frac{2}{5}m\right)v^2}{2} = \frac{7mv^2}{10}$

Przyrównując energie początkową i końcową wyznaczamy prędkość kulki

$v=\sqrt{\frac{10gh}{7}}$

Faza II ruchu – toczenie po podłożu

Faza II ruchu. W tej fazie kulka po prostu toczy się po podłożu. Prędkość liniowa ani kątowa nie zmienia się.

Faza III ruchu – rzut ukośny

Faza III ruchu. W tej fazie kulka rozpoczyna rzut ukośny z prędkością poziomą $v=\sqrt{\frac{10gh}{7}}$ . Równania ruchu kulki mogę zapisać następująco:

$x(t)=vt$

$y(t)=H-\frac{gt^2}{2}$

Możemy z nich wyznaczyć trajektorię poprzez wyznaczenie czasu z równania na $x(t)$ i podstawienie go do równania na $y(t)$ .

$y(x)=H-\frac{gx^2}{2v^2}$

Uderzenie o ziemię nastąpi gdy $y=0$ .

$0=H-\frac{gx^2}{2v^2}$

$x=v\sqrt{\frac{2H}{g}}$

$x=\sqrt{\frac{20hH}{7}}$

$x=73\text{ cm}$

Ostatecznie zatem odpowiedź na nasze maturalne zadanie z równią pochyłą to: Kulka spadła w odległości $x=73\text{ cm}$ od stołu.

Zadania z równią pochyłą z korepetytorami z Fizyki Olimpijskiej

Teraz, gdy wiesz już na czym się skupić rozwiązując problemy z równią pochyłą, żadne zadanie z tego tematu nie będzie miało przed Tobą tajemnic 🙂 Jeśli przygotowujesz się do matury, konkursu, olimpiady lub zaliczenia na studiach z przyjemnością Ci pomożemy! Zapraszam Cię nie tylko do korzystania z udostępnianych przez nas materiałów, które przygotowujemy właśnie po to, aby ułatwić Ci naukę, ale także do umówienia się z nami na prywatne korepetycje z fizyki online, na których możemy zarówno wytłumaczyć Ci różne zadania, jak i swobodnie porozmawiać o pasjonujących Ciebie i Mnie fizycznych zagadnieniach.

Bardzo docenię również twój feedback, jeśli uważasz że w artykule możemy co dodać lub zmienić daj proszę znać w komentarzu. Jeśli artykuł okazał się dla Ciebie przydatny możesz też zostawić jakiś ślad po sobie – to bardzo motywuje do dalszego dzielenia się wiedzą 🙂

Autorka Artykułu:

Tutorka w Fizyka Olimpijska , Finalistka Olimpiady fizycznej, Laureatka konkursu o Diamentowy Index AGH, ale co najważniejsze zapalona fanka Fizyki.

Agata Czuk

Bibliografia:

Zbiór Zadań Z Olimpiady o Diamentowy Indeks AGH

Archiwum zadań z Fizyki Diamentowego Indeksu AGH

Rozwiązywanie zadań z równią pochyłą – teoria i przykłady

Równia pochyła i toczenie – teoria

Przykładowe zadania z równią pochyłą

Zadanie z równią z konkursu o diamentowy indeks 2007/2008 – I – 4

Rozwiązanie zadania:

Zadanie z równią z konkursu o diamentowy indeks 2008/2009 – II – 2

Rozwiązanie zadania:

Najpierw przeanalizujmy ruch bez poślizgu:

Ruch z poślizgiem:

Zadanie z równią z matury próbnej z 2023 roku

Rozwiązanie zadania

Faza I ruchu – staczanie z równi

Faza II ruchu – toczenie po podłożu

Faza III ruchu – rzut ukośny

Zadania z równią pochyłą z korepetytorami z Fizyki Olimpijskiej

Fizyka z Pasją!

Korepetycje z Fizyki

O Fizyce Olimpijskiej

Bądź na bieżąco!