Olimpiada Fizyczna

Prawo Faradaya – Rozwiązanie zadania T1 z I etapu 73 Olimpiady Fizycznej

Zadanie T1 z I etapu 73 Olimpiady Fizycznej jest idealnym testem tego jak dobrze rozumiemy prawo Faradaya. Rozumienie go na szkolnym poziomie umożliwia rozwiązywanie bardzo prostych/schematycznych zadań. Rozwiązanie zadań bardziej skomplikowanych (olimpijskich) wymaga zrozumienia skąd bierze się prawo Faradaya i kiedy możemy go używać. Tym właśnie zajmiemy się w tym artykuł. Szczegółowo omówimy prawo Faradaya, a następnie w ramach praktyki rozwiążemy zadanie T2 z I etapu 73 Olimpiady Fizycznej

Prawo Faradaya

Jeśli strumień pola magnetycznego przechodzącego przez zamknięty obwód elektryczny zmienia się (w związku ze zmianą wartości pola magnetycznego lub kształtu obwodu), to w obwodzie pojawia się siła elektromotoryczna równa prędkości zmiany tego strumienia pola magnetycznego. Prawo to zapisujemy jako:

    \[\epsilon = - \frac{d\Phi_B}{dt}\]

To podstawowa definicja, jeszcze bardziej podstawową definicje możesz znaleźć na Wikipedii – Definicja Prawa Faradaya. Jednak już w tych podstawowych definicjach pojawiają się nieoczywiste słowa które wymagają wyjaśnienia – strumień pola magnetycznego, siła elektromotoryczna. Wyjaśnijmy je sobie poniżej:

Strumień Pola

Strumień pola magnetycznego jest pojęciem dość abstrakcyjnym dużo prościej będzie nam zrozumieć pojęcie strumienia pola prędkości, a następnie uogólnimy strumień pola na pole magnetyczne.

Analogia – Strumień pola prędkości

Wyobraźmy sobie rzekę (strumień) i spróbujmy ustalić ile cieczy przepływa przez tą rzekę na jednostkę czasu. Aby to zrobić wprowadzimy pole prędkości wody to znaczy każdemu punktowi w objętości rzeki przypiszemy dokładnie jeden wektor – wektor prędkości płynu w tym punkcie.

Prawo Faradaya - wytłumaczenie

Na rysunku powyżej widzimy rzekę przekrojoną w połowie. Na powierzchni przekroju zaznaczyliśmy wektory prędkości wody. Zakładając że prędkość w każdym punkcie rzeki jest taka sama i że nie ma żadnych wirów, objętość wody przepływającej na jednostkę czasu przez taką powierzchnię możemy zapisać jako:

    \[\frac{dV}{dt} = v\cdot S\]

Taką prędkość przepływu cieczy w rzece nazwiemy właśnie strumieniem pola prędkości wody w rzece i zapisujemy jako \Phi_v=\frac{dV}{dt}. Jednak opisana sytuacja jest bardzo uproszczona. Jeśli pomyślimy sobie np. o Wiśle – znajdziemy w niej całą masę wirów. Woda w każdym punkcie płaszczyzny będzie miała inną wartość i kierunek prędkości. W takim przypadku możemy uprościć problem dzieląc naszą powierzchnię na wiele małych powierzchni i licząc strumień przepływu przez każdą z nich: \Phi_v=\sum \Delta \Phi_v, gdzie \Delta \Phi_v to strumienie przez małe powierzchnie. Jeśli powierzchnie będą odpowiednio małe to możemy uznać że prędkość przepływu cieczy w każdym punkcie takiej malutkiej powierzchni jest stała.

Dodatkowo zauważając że składowa prędkości równoległa do powierzchni nie powoduje żadnego przepływu cieczy przez powierzchnię, możemy zapisać \Delta \Phi_v =\Delta S \cdot v_{perp}=\Delta S \cdot v \cdot \cos \alpha.

Wprowadzając pojęcie wektora powierzchni \vec{\Delta S}, czyli wektora którego długość jest równa wartości powierzchni \Delta S, natomiast kierunek jest prostopadły do powierzchni (wektor ten leży na normalnej do powierzchni) możemy w sprytny sposób zapisać taki mały strumień jako \Delta \Phi_v =\vec{\Delta S} \cdot \vec{v}.

Czyli strumień pola prędkości zapisujemy jako:

    \[\Phi_v = \sum \vec{\Delta S}\cdot \vec{v}\]

Bądź używając nieco bardziej zaawansowanego języka:

    \[\Phi_v = \int  \vec{v}\cdot d\vec{S}\]

Strumień pola magnetycznego

Dokładnie analogiczne rozumowanie możemy przeprowadzić dla dowolnego innego pola wektorowego. Np. Dla pola magnetycznego.

Strumień pola magnetycznego zapiszemy jako:

    \[\Phi_b = \sum \vec{\Delta S}\cdot \vec{B} = \int  \vec{B}\cdot d\vec{S}\]

Zgodnie z powyższą analogią możemy myśleć o strumieniu pola magnetycznego jako ilości pola magnetycznego przechodzącego przez daną powierzchnię.

Siła Elektromotoryczna

Ładunek Q przemieszczając się po drodze o danej sile elektromotorycznej \epsilon uzyska energię \epsilon Q. To brzmi zupełnie jak definicja napięcia prawda? Ładunek Q przemieszczając się między dwoma punktami o różnicy potencjałów (napięciu) U uzyska energię U Q. Te definicje wyglądają prawie identycznie. Prawie ….

Siła elektromotoryczna: \dots po drodze o danej sile elektromotorycznej \epsilon \dots

Napięcie: \dots między dwoma punktami o różnicy potencjałów (napięciu) U \dots

Napięcia UI używamy wtedy gdy możemy zdefiniować potencjał. Wtedy energia uzyskana przez ładunek przemieszczający się między dwoma punktami zależy tylko od położenia tych dwóch punktów. Niezależenie po jakiej drodze porusza się ładunek energia jaką uzyska będzie identyczna.

O sile elektromotorycznej \epsilon mówimy gdy nie możemy przypisać punktom przestrzeni potencjału. W takiej sytuacji energia jaką zyska ładunek przemieszczający się między dwoma punktami zależy od wybranej trajektorii.

Jak się pewnie domyślasz w elektrostatyce gdy ładunki spoczywały nie było problemu pojęciem napięcia U, jednak gdy zaczęliśmy rozmawiać o polu magnetycznym takie problemy już się pojawiają. Niemniej ponieważ wzory na obie wartości – napięcie i siłę elektromotoryczną są identyczne w równaniach oba te symbole występują w tych samych miejscach. Stąd też mogła by się pojawić pokusa aby traktować te pojęcia zamiennie.

Skąd bierze się prawo Faradaya

Prawo Faradaya wywodzi się z Równań Maxwella – czterech fundamentalnych dla elektromagnetyzmu równań. W tych czterech równaniach zawarty jest cały elektromagnetyzm. Jedno z równań Maxwella nosi nazwę „Prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya” to ono odpowiada za Prawo Faradaya jakie znamy ze szkoły. Prawo to w pełnej okazałości używa dość zaawansowanego języka

matematycznego:

    \[\sum \vec{E}\cdot d\vec{l}=-\frac{d\phi_B}{dt}\]

Równanie to mówi że jeśli wybierzemy dowolną zamkniętą powierzchnię (np. koło lub powierzchnię przypominającą foliowy worek na zakupy) to zmiana strumienia pola magnetycznego przechodzącego przez tą powierzchnie może być wyrażona w pewien ciekawy sposób. Mianowicie jeśli weźmiemy elektromagnetyczną mrówkę która będzie chodziła po brzegu naszej powierzchni krokami o długości dl i po każdym kroku zapisywała wartość \vec{E}\cdot d\vec{l} i będzie robiła tak aż do powrotu do punktu wyjścia, po to aby na końcu zsumować wszystkie obliczone wartości otrzymała by dokładnie \sum \vec{E}\cdot d\vec{l} – czyli naszą lewą stronę równania.

Proste? Niekoniecznie. Jeśli masz już doświadczenie z prawem Gaussa możesz dostrzec podobny język którego użyliśmy do opisania prawa Faradaya. Możemy jednak opowiedzieć o tym równaniu w nieco prostszy sposób.

Jednak zanim to zrobimy chciałby zwrócić Ci uwagę na pewien bardzo istotny szczegół. W powyższym wyprowadzeniu nic nie mówiliśmy o obwodach elektrycznych. Nawet gdyby w naszym wszechświecie nie istniał ani jeden obwód elektryczny prawo Faradaya ciągle by działało. Zatem w wyborze powierzchni jesteśmy ograniczeni jedynie wyobraźnią.

Krążące pole elektryczne

Mówiąc intuicyjnie zmienne w czasie pole magnetyczne \frac{d \vec{B}}{dt} powoduje pojawienie się krążącego pola elektrycznego.

Pole elektryczne indukcji na podstawie zadania T1 z 73 Olimpiady Fizycznej

Czyli nasza elektromagnetyczna mrówka będzie mogła powiedzieć że idąc w jednym kierunku szła bardziej w kierunku wskazanym przez wektory natężenia pola elektrycznego, natomiast idąc w przeciwnym kierunku częściej szła pod prąd – przeciwko wektorom natężenia pola elektrycznego.

Zwróć proszę uwagę że jeśli umieścimy ładunek dodani w takim krążącym polu elektrycznym i pozwolimy mu zatoczyć koło wracając do punktu wyjścia to pole elektryczne wykona nad nim pracę \sum E \cdot \Delta l = E \cdot 2\pi r > 0! Pomimo że wróciliśmy do tego samego punkt ładunek uzyskał energię, a przecież różnica potencjałów między punktem a nim samym powinna wynosić zero. To właśnie krążące pole elektryczne jest powodem dla którego nie możemy używać pojęcia napicia i wprowadzamy siłę elektromotoryczną.

Prawo Faradaya a Siła elektromotoryczna

Spróbujmy zinterpretować w zrozumiałym języku to wyrażenie \sum \vec{E}\cdot d\vec{l}=-\frac{d\phi_B}{dt}. Pojedynczy element sumy pojawiającej się z lewej strony równania – \vec{E}\cdot d\vec{l} możemy przekształcić następująco

\vec{E}\cdot d\vec{l} =\frac{q}{q}\vec{E}\cdot d\vec{l} = \frac{\vec{F}}{q}\cdot d\vec{l} = \frac{dW}{q} = \epsilon

W powyższym przekształceniu wykorzystaliśmy definicję natężenia pola elektrycznego \vec{E}=\frac{\vec{F}}{q} oraz pracy dW=\vec{F}d\vec{s} aby ostatecznie otrzymać wzór na drobną energię uzyskaną przez ładunek na jednostkę ładunku – to właśnie nasza siła elektromotyczna!

Taka siła elektromotyczna jest związana z drogą (nie z jakimś obwodem!). Wracając na chwilę do naszej mrówki jeśli z jej obliczeń wyszłoby że po przejściu wzdłuż całego brzegu powierzchni suma \sum \vec{E}\cdot d\vec{l} = -10V to wiedziałaby że aby przenieść 1C ładunku dookoła powierzchni musiała wy wykonać pracę 10J = 10V\cdot 1C.

Podsumowanie

  • Potencjał V jest związany z punktami. Ładunek przemieszczający się między dwoma punktami uzyska energię równą (V_{koń}-V_{pocz})q
  • Siła elektromotoryczna \epsilon jest związana z drogą. Ładunek przemieszczający się między dwoma punktami po danej drodze uzyska energię równą (\epsilon_{koń}-\epsilon_{pocz})q
  • Prawo Faradaya może nam posłużyć do wyznaczenia całkowitej siły elektromotorycznej wzdłuż dowolnej zamkniętej drogi (ograniczającej jakąś powierzchnię)
  • Zmienne pole magnetyczne prowadzi do powstania krążącego pola elektrycznego.
  • W krążącym polu elektrycznym ładunek może wzdłuż dowolnej zamkniętej drogi, wrócić do punktu wyjścia i mieć inną energię niż na początku

Z taką wiedzą jesteśmy gotowi aby zanurzyć się w fizykę z zadania T1 z 73 Olimpiady Fizycznej i w niej nie utonąć. 🙂

Treść zadania T1 z 73 Olimpiady Fizycznej:

Obwód elektryczny przedstawiony na rysunku składa się ze sztywnych przewodów w kształcie półokręgów o promieniach r oraz \frac{r}{2}.

Wartości oporu elektrycznego górnego półokręgu, dolnego, oraz środkowej części obwodu, są takie same i równe R. Cały układ leży w jednej płaszczyźnie, prostopadłej do jednorodnego, zmiennego pola magnetycznego o indukcji B(t) = B_0 \cos \omega t, gdzie B_0 oraz \omega są stałymi. Wyznacz średnią moc ciepła wydzielającego się w obwodzie. Pomiń pole magnetyczne wytwarzane przez prąd płynący w obwodzie.

Treść zadania zaczerpnięta z Archiwum zadań KGOF

Rozwiązanie zadania T1 z 73 Olimpiady Fizycznej

Wstępna analiza zadania

Zgodnie z prawem Faradaya zmieniające się pole magnetyczne będzie powodowało powstawanie pola elektrycznego. To pole elektryczne może być bardzo skomplikowane do wyznaczenia, na szczęście my tego nie musimy robić 🙂

Przykładowe pole elektryczne które zgodnie z prawem Faradaya powstaje w układzie z zadania T1 z 73 Olimpiady Fizycznej

Ważne dla nas jest że to pole elektryczne doprowadzi do powstania sił elektromotorycznych na poszczególnych drogach. Oznaczmy 3 kolorami – zielonym, fioletowym i czerwonym – trzy istotne dla naszego zadania drogi. Siły elektromotoryczne odpowiadające tym drogą możemy oznaczyć odpowiednio jako \epsilon_1, \epsilon_2, \epsilon_3

siły elektromotoryczne będą działały w każdym elemencie obwodu zwiększając energię ładunków. Jednocześnie opór będzie hamował ładunki na całym obwodzie. Możemy myśleć że nasz układ składa się z wielu małych bateryjek i oporników. Zamiast jednak rysować układ naszpicowany małymi elementami możemy go nieco uprościć do poniższej postaci:

Siły elektromotoryczne dla zadania T1 z 73 Olimpiady Fizycznej

W tej postaci skupiliśmy cały opór i siłę elektromotoryczną układu w trzech opornikach i trzech bateriach. Pozostaje nam jedynie ustalić wartości sił elektromotorycznych baterii. Oczywiście posłuży nam do tego prawo Faradaya. Przypomnę jak je sformułowaliśmy:

Całkowita siła elektromotoryczna wzdłuż dowolnej zamkniętej drogi równa się zmianie strumienia pola magnetycznego przez powierzchnię ograniczoną przez tą zamkniętą drogę.

Zastosowanie Prawa Faradaya w zadaniu T1

W naszym układzie możemy zaobserwować trzy drogi. Policzymy pole powierzchni dla każdej z nich:

DrogaPowierzchnia
Zielona – Czerwona\pi r^2
Zielona – Fioletowa\frac{1}{2}\pi r^2-\pi \left(\frac{r}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\pi r^2
Fioletowa – Czerwona\frac{1}{2}\pi r^2+\pi \left(\frac{r}{2}\right)^2=\frac{3}{4}\pi r^2

Ponieważ Indukcja pola magnetycznego jest prostopadła do płaszczyzny rysunku i wynosi B_0 \cos \omega t strumień pola magnetycznego przechodzący przez powierzchnię S zapiszemy jako \Phi_B=B_0 S \cos \omega t, natomiast jego zmiana w czasie to:

    \[\frac{d\Phi_B}{dt} = - B_0 S \omega  \sin \omega t\]

Zgodnie z prawem Faradaya \frac{d\Phi_B}{dt} równa jest sile elektromotorycznej które dla każdej z dróg zgodnie z naszymi oznaczeniami \epsilon_1, \epsilon_2, \epsilon_3 możemy zapisać jako

Droga\frac{d\Phi_B}{dt}\epsilon
Zielona – CzerwonaB_0 \pi r^2 \omega  \sin \omega t\epsilon_1 - \epsilon_3
Zielona – Fioletowa\frac{1}{4} B_0 \pi r^2 \omega  \sin \omega t\epsilon_1 - \epsilon_2
Fioletowa – Czerwona\frac{3}{4} B_0 \pi r^2 \omega  \sin \omega t\epsilon_2 - \epsilon_3

Oczywiście między drugą i trzecią kolumną zachodzi równość. Jak widać otrzymujemy tożsamość – po dodaniu wiersza drugiego do trzeciego otrzymujemy wiersz pierwszy. Oznacza to że nie mamy wystarczająco danych aby wyznaczyć wartości 'napięć’ baterii. Może jednak to nie będzie koniecznie. Możemy skorzystać z praw Kirchhoffa aby wyznaczyć natężenia prądów płynących w układzie.

Prawo Kirchhoffa – wyznaczenie natężeń

Aby skorzystać z praw Kirchhoffa przedstawmy układ w bardziej prostokątnej, znajomej postaci.

Prawo Kirchhoffa zadanie T1 z 73 olimpiady fizycznej

Rozpiszmy poszukiwane natężenia I_1 oraz I_2. Natężenia zapisane w powyższy sposób już spełniają I prawo Kirchhoffa. Zapiszemy również II prawa Kirchoffa dla górnego oraz dolnego oczka:

    \[\epsilon_1 + I_1 R - \epsilon_2 + \left(I_1+I_2\right)R=0\]

    \[-\left(I_1+I_2\right)R + \epsilon_2 - \epsilon_3 - I_2 R = 0\]

W powyższych równaniach pojawiają się różnice sił elektromotorycznych które znamy dzięki prawu Faradaya. Korzystając z zapisanych w powyższej tabeli

    \[\frac{1}{4}\epsilon + I_1 R  + \left(I_1+I_2\right)R=0\]

    \[-\left(I_1+I_2\right)R + \frac{3}{4}\epsilon - I_2 R = 0\]

Dla uproszczenia zapisu przejęliśmy oznaczenie \epsilon = B_0 \pi r^2 \omega  \sin \omega t. Z powyższych równań możemy wyznaczyć natężenia prądów:

    \[I_2=\frac{7}{12R}\epsilon\]

    \[I_1 = -\frac{5}{12R}\epsilon\]

Wyznaczenie mocy średniej

Pozostaje nam już tylko wyznaczenie mocy.

    \[P=I_1^2R+(I_1+I_2)^2 R + I_2^2 R\]

Podstawiający wyznaczone natężenia:

    \[P=\frac{13\epsilon^2}{24R}\]

Podstawiając wartość którą schowaliśmy w \epsilon\epsilon = B_0 \pi r^2 \omega  \sin \omega t

    \[P=\frac{13\cdot B_0^2 \pi^2 r^4 \omega^2 \sin^2 \omega t}{24R}\]

Ostatnim krokiem będzie uśrednienie mocy po czasie. Jedyna zależność od czasu pojawia się w sinusie – \sin^2 \omega t. Średnia wartość kwadratu sinusa to \frac{1}{2}. Otrzymujemy zatem ostateczne wyrażenie na moc:

    \[P_{śr}=\frac{13\cdot B_0^2 \pi^2 r^4 \omega^2 }{48R}\]

Odpowiedź do zadania T1 z 73 Olimpiady Fizycznej

Zgodnie z prawem Faradaya w układzie pojawiła się siła elektromotoryczna powodująca przepływ prądu który wydzieli ciepło na opornikach. Moc wydzielania ciepła wynosi:

    \[P_{śr}=\frac{39\cdot B_0^2 \pi^2 r^4 \omega^2 }{36R}\]

Podsumowanie – Prawo Faradaya na Olimpiadzie Fizycznej

Bardzo się cieszę że udało Ci się dotrwać do samego końca tego artykułu. Mam nadzieję że początkowy wywód pomógł ci w zrozumieniu sposobu rozwiązania zadania T1. Prawo Faradaya nie pojawia się po raz pierwszy na 73 Olimpiadzie Fizycznej. Można powiedzieć że jest jej stałym bywalcem, jednak w ciągu ostatnich lat nie jestem w stanie znaleźć żadnego zadania które zawierało układy z wieloma oczkami. Standardem są jednak zadania w których obwód się porusza i/lub zmienia swój kształt. Te zadania są wyjątkowe na swój sposób i fizyka opisująca je na pewno doczeka się swojego artykułu na naszej stronie. 🙂 Jako przykłady takich zadań mogę podać:

Całkiem sporo tych zadań. Jednak to nie wszystkie zadania z prawem Faradaya jakie powiły się w ciągu ostatnich 5 lat na Olimpiadzie Fizycznej. Mamy również:

Jeśli spodobało ci się wyjaśnienie prawa Faradaya oraz omówienie zadania z Olimpiady Fizycznej to na pewno spodobają ci się również nasze specjalne korepetycje olimpijskie. Autorzy tego artykułu to właśnie tutorzy którzy w ramach korepetycji olimpijskich pomagają pasjonatom fizyki w przygotowaniach do Olimpiady Fizycznej.

0 0 votes
Article Rating
Subscribe
Powiadom o
guest
2 komentarzy
najstarszy
najnowszy oceniany
Inline Feedbacks
View all comments
Dawid

Cześć, podstawiąjąc śreednią wartość sinusa wynik został pomnorzony przez 2 zamiast 1/2. Ostatedczny współczynnik wynosi zatem 13/48 nie 39/36