Olimpiada Fizyczna

Praca Objętościowa – Rozwiązanie zadania T3 z I etapu 73 Olimpiady Fizycznej

Artykuł z rozwiązaniem zadania T3 z I etapu Olimpiady Fizycznej

Zadanie T3 z 73 Olimpiady Fizycznej to pierwsze zadanie teoretyczne nad którym miałem okazję się zastanawiać w tej edycji. Bardzo popularnymi podejściami do tego zadania było całkowanie oraz przyjmowanie dodatkowych (niepotrzebnych) założeń o atmosferze. Poprawne rozwiązanie tego zadania wymagało zrozumienia pracy objętościowej. I to właśnie o niej opowiem w tym artykule. Po wprowadzeniu pojęcia pracy objętościowej przedstawię szczegółowe rozwiązanie zadania T3 z 73 Olimpiady Fizycznej i pokażę jak pracę objętościową można zastosować w praktyce 🙂

Praca objętościowa

Wyobraźmy sobie że chcemy napompować balon głęboko pod powierzchnią wody. Intuicja podpowiada nam że będziemy musieli się dużo bardziej namęczyć niż gdybyśmy pompowali balon normalnie w powietrzu jak to zwykliśmy robić 🙂

Termodynamika - pompowanie balonika przy różnym ciśnieniu zewnętrznym.

Dlaczego będzie nam ciężej? Czemu pod wodą musimy bardziej się napracować? I gdzie ta nadmiarowa praca się podziewa? Zgodnie z zasadą zachowania energii nie może przecież zniknąć.

Prawo Pascala dla balona zanurzonego w wodzie.

Kiedy zwiększamy objętość balona pod wodą zabieramy przestrzeń wodzie dookoła balona. Ta woda musi się gdzieś podziać i jedynym miejscem w które może się przemieścić jest powierzchnia zbiornika z cieczą. Oczywiście ciecz przemieszczając się do góry zwiększy swoją energię potencjalną. Zwiększy ją dokładnie o E_v=M_c g h gdzie M_c to masa cieczy natomiast h to głębokość balona. Korzystając ze wzoru na gęstość cieczy (na głębokości h) możemy zapisać M_c=\rho_c(h) V_c to energię objętościową możemy zapisać jako:

    \[E_v=\rho_c V_c g h\]

W szczególnym przypadku gdy gęstość cieczy jest stała możemy dodatkowo skorzystać ze wzoru na ciśnienie hydrostatyczne p=\rho g h i otrzymać ostatecznie

    \[E_v=pV\]

Energia ta związana z energią potencjalną ośrodka wypełniającego otoczenie przedmiotu może być nazwana energią potencjalną objętości, Energią objętościową lub pracą objętościową. W przypadku zmiennej gęstości \rho(h) znacznie ciężej będzie skontrolować zmianę energię w układzie w związku z pojawieniem się balona. W związku z tym posłużymy się inną metodą aby wyznaczyć pracę objętościową.

Praca objętościowa – Praca przeciwko ciśnieniu otoczenia

Wróćmy do omawianego wcześniej przykładu pompowania balona pod wodą. Kiedy zwiększamy objętość balona o dV wykonujemy pracę nad otoczeniem o stałym ciśnieniu p (zakładamy tutaj że balon jest na tyle mały że możemy przyjąć stałe ciśnienie dookoła niego).

termodynamika - wykres pracy od ciśnienia

Mamy do czynienia z pracą nad cieczą o stałym ciśnieniu. Wartość tej pracy możemy odczytać z wykresu P-V. W_v=pV. To krótkie wyprowadzenie jest w zupełności ogólne i nie wymaga założenia o stałej gęstości ośrodka! Wykonana praca posłużyła do zwiększenia energii otoczenia. Pracę objętościową możemy wyprowadzić w jeszcze jeden sposób.

Związek pracy objętościowej z siłą wyporu

Samo sformułowanie praca objętościowa sugeruje że istnieje jakaś siła związana z tą energią. Oczywiście istnieje – jest to siła wyporu F_w=\rho g V.

Wyobraźmy sobie że obiekt o objętości V(h) (ta objętość może się zmieniać wraz z głębokością) powoli zanurzamy w wodzie aż do głębokość h. Aby to zrobić oczywiście będziemy musieli wykonać pracę przeciwko sile wyporu. Policzenie tej pracy nie będzie skomplikowane ponieważ siła wyporu jest stała F_w=\rho_c(h) g V(h) na całej drodze h

    \[dW=F_w\cdot dh = \rho_c(h) g V(h) dh = Vdp\]

Ta drobna praca przeciwko sile wyporu zostanie przeznaczona na wzrost dwóch różnych energii. Na wzrost energii otoczenia (to właśnie tą energię nazywamy energią potencjalną objętości lub pracą objętościową) oraz na wzrost energii wewnętrznej ciała zmieniającego swoją objętości (np. balona z powietrzem). Możemy zatem zapisać:

    \[\textrm{[praca siły wyporu] }= \textrm{[praca wykonana nad gazem] }+ \textrm{[praca objętościowa (zmiana energii otoczenia)]}\]

Drobna raca wykonana nad gazem to oczywiście -pdV. Drobną pracę objętościową natomiast zapiszemy jako dE_v.

    \[Vdp=-pdV+dE_v\]

    \[Vdp+pdV=dE_v\]

Kożystając z reguły Leibniza (wzoru na pochodną iloczynu funkcji) zapiszemy:

    \[d(pV)=dE_v\]

I ostatecznie sumując wszystkie drobne zmiany na drodze zanurzania ciała otrzymujemy dobrze już nam znany wzór

    \[E_v=pV\]

Optymalizacja energii czarowania królików

Powyższe rozumowanie możemy przedstawić w obrazowy sposób. Jeśli magik planowałby wyczarować królika na ziemi musiał by wykorzystać więcej energii niż wykorzystałby na wyczarowanie tego samego królika w próżni. Nadmiar energii byłby równy omawianej właśnie objętościowej energii potencjalnej E_v = pV.

Energia potrzebna do wykonania pracy - wytłumaczenie

Przyjmując standardowe ciśnienie atmosferyczne p=10^{5}pa oraz objętość królika V = 3.8l=3.8\cdot 10^{-3} (średnia objętość dorosłego białego królika nowozelandzkiego) energia objętościowa królika wyniesie E_v=pV=380J. Dzięki temu obliczeniu magik będzie w stanie poprawnie obliczyć ilość energii niezbędnej do wykonania sztuczki.

Wyposarzeni w wiedzę o 0bjętościowej energii potencjalnej (objętościowej pracy) jesteśmy gotowi na rozwiązanie zadania T3 z 73 Olimpiady Fizycznej. Standardowo zacznijmy od treści zadania.

Treść zadania T3 z 73 Olimpiady Fizycznej

Balon obserwacyjny o masie całkowitej (wraz z wypełniającym go helem, gondolą oraz załogą) M unosi się na uwięzi na wysokości h nad ziemią, gdzie ciśnienie wynosi p_1, a temperatura jest równa T_1. Balon jest wypełniony n molami helu o temperaturze początkowo równej temperaturze otoczenia. Powłoka balonu jest wiotka. Masa liny (części łączącej ziemię z gondolą) jest równa m i nie jest pomijalna w porównaniu z M. Nie wieje wiatr. Wyznacz pracę W, jaką należy wykonać, aby ściągnąć balon na ziemię, gdzie ciśnienie powietrza wynosi p_2. Zakładamy, że ściąganie jest na tyle wolne, że można pominąć opór powietrza, ale na tyle szybkie, że wypełniający balon hel nie wymienia ciepła z otoczeniem, tzn. przemiana helu jest adiabatyczna i spełnia równanie pV^{\kappa}=const. gdzie \lappa = \frac{C_v+R}{C_v}, przy czym C_V=\frac{3}{2}R jest ciepłem molowym helu przy stałej objętości, natomiast R jest uniwersalną stałą gazową. Zakładamy również, że podczas ściągania balonu lina jest stale naprężona. Pomiń gęstość powietrza w porównaniu z gęstością powłoki i gondoli. Masy molowe helu i powietrza to odpowiednio M_{He} oraz M_{p}. Przyspieszenie ziemskie wynosi g.
Podaj wynik liczbowy dla n = 50000 moli, h = 5000 m, p_1 = 50 kPa, T_1 = 280 K, p_2 = 100 kPa, M = 500 kg, m = 200 kg i przyjmując, że R = 8,31 \frac{J}{mol\cdot K}, g = 9,81 \frac{m}{s^2}, M_{He} = 4 \frac{kg}{kmol} oraz M_p = 29 \frac{kg}{kmol}.

Treść zadania zaczerpnięta z Archiwum zadań KGOF

Rozwiązanie zadania T3 z 73 Olimpiady Fizycznej

Wstępna analiza

Zadanie T3 pochodzi z działu termodynamika, który jest trzecim najczęściej pojawiającym się tematem na Olimpiadzie Fizycznej. Więcej o tematach jakie pojawiają się na Olimpiadzie, dowiecie się z jednego z naszych artykułów.

Standardowo rozpocznijmy zadanie od rysunku. Początkowo mamy balon o masie M znajdujący się na wysokości h w gazem o parametrach p_1, T_1, V_1 w środku oraz linkę o masie m ze środkiem masy na wysokości \frac{h}{2}. Pod koniec balon i linka znajdują się na wysokości 0. Gaz w balonie opiszemy parametrami p_2, v_2, T_2

Zadanie T3 z Olimpiady Fizycznej 2023

Na niebiesko na rysku oznaczyłem wartości których nie mamy podanych w treści zadania – V_1, V_2, T_2 jednak będziemy w stanie je wyznaczyć.

Do rozwiązania możemy podejść na dwa sposoby. Możemy wykorzystać:

  • Metodę siłową – polegającą na rozpisaniu wszystkich sił działających na balon w trakcie opuszczania go i policzeniu pracy każdej z tych sił.
  • Metodę energetyczną – Polegającą na porównaniu energii całkowitej układu w sytuacji początkowej oraz w sytuacji końcowej. Różnica tych energii będzie właśnie poszukiwana praca.

Treść zadania, precyzyjnie opisując stan początkowy oraz końcowy, wydaje się popychać nas naturalnie w kierunku metody energetycznej. Pytanie tylko czy jesteśmy w stanie zidentyfikować i policzyć wszystkie rodzaje energii pojawiające się w naszym układzie? Na myśl na pewno przychodzą nam:

  1. Energia potencjalna grawitacji balona o masie ME_{gb}
  2. Energia potencjalna grawitacji liny o masie mE_{gl}
  3. Energia wewnętrzna gazu w balonie – E_w
  4. Energia oddziaływania balonu z atmosferą – energia potencjalna objętości (praca objętościowa) – E_v

Wydaje się że układ nie będzie przechowywał energii w żadnej innej postaci. Przeanalizujmy zatem sytuację początkową.

Praca objętościowa i energia wewnętrzna

Jak pokazaliśmy w rozdziale ’Związek pracy objętościowej z siłą wyporu’ pracę siły wyporu możemy zapisać jako W_{F_w}= \int V dp. Praca ta spowoduje zmianę energii wewnętrznej gazu \Delta E_w= \int p dV (korzystam tutaj z faktu że w przemianie adiabatycznej cała zmiana energii wewnętrznej równa jest pracy gazu) oraz energii otoczenia \Delta E_v.

Podczas przemiany adiabatycznej spełniona jest zależność:

    \[pV^{\kappa}=const.\]

Różniczkując powyższy warunek, możemy zauważyć ciekawy związek, między zmianą energii wewnętrznej gazu \Delta E_w= \int p dV, a zmianą energii otoczenia \Delta E_v

    \[d\left(pV^{\kappa}\right)=0\]

Przeprowadźmy następujące przekształcenia:

    \[p\kappa V^{kappa-1} dV - V^{\kappa} dp=0\]

    \[p\kappa  dV - V dp=0\]

    \[\kappa \int p  dV = \int V dp\]

Gdzie \int p  dV to praca wykonana nad gazem która w przemianie adiabatycznej równa jest zmianie energii wewnętrznej gazu. Natomiast \int V dp to suma energii objętościowej oraz energii wewnętrznej gazu.

    \[\kappa \Delta E_w = \Delta E_v+ \Delta E_w\]

    \[\kappa - 1 \Delta E_w = \Delta E_v\]

Korzystając z definicji \kappa=1+\frac{R}{c_v} zapiszemy:

    \[\frac{R}{c_v}\Delta E_w = \Delta E_v\]

Otrzymując proporcjonalność między }\Delta E_w a }\Delta E_v. Oznacza to że w naszym zadaniu będziemy musieli policzyć jedynie energię wewnętrzna o objętościowa „policzy się sama”.

Sytuacja początkowa

energia potencjalna grawitacji balona

Początkowo energia potencjalna grawitacji balona wynosi E_{gb}^{pocz} = Mgh

energia potencjalna grawitacji liny

Początkowo energia potencjalna grawitacji liny E_{gl}^{pocz} = mg \frac{h}{2}

Energia wewnętrzna gazu

Energia wewnętrzna gazu w balonie w chwili początkowej to E_{w}^{pocz}=c_v n T_1

Energia potencjalna objętości

Energia potencjalna objętości – E_{v}^{pocz}=\frac{R}{c_v} E_w^{pocz}= R n T_1= c_p n T_1.

Całkowita energia początkowa

Całkowita energia początkowa to:

    \[E^{pocz}= gh\left(M+\frac{m}{2}\right)+(c_v+R)nT_1\]

Sytuacja końcowa

Analogiczne rozumowanie przeprowadzimy dla sytuacji końcowej, dla wszystkich czterech form energii.

energia potencjalna grawitacji balona

Końcowa energia potencjalna grawitacji balona to E_{gb}^{koń}=0

energia potencjalna grawitacji liny

Końcowa energia potencjalna grawitacji liny to E_{gl}^{koń}=0

Energia wewnętrzna gazu

Końcowa Energia wewnętrzna gazu w balonie to E_{w}^{koń}=c_v n T_2.
Temperatura T_2 jest nieznana możemy ją jednak wyznaczyć wiedząc że gaz w balonie ulega przemianie adiabatycznej z ciśnienia p_1 i objętości V_1 do ciśnienia p_2.

    \[p_1V_1^{\kappa}=p_2V_2^{\kappa}\]


Zatem objętość końcowa to:

    \[V_2=V_1\left(\frac{p_1}{p_2}\right)^{\frac{1}{\kappa}}\]


Teraz z równania Clapeyrona dla sytuacji końcowej p_2V_2=nRT_2 wyznaczymy temperaturę T_2

    \[T_2=\frac{p_2V_2}{nR} = \frac{p_2V_1}{nR}\left(\frac{p_1}{p_2}\right)^{\frac{1}{\kappa}}\]


Czyli końcową energię wewnętrzną gazu zapiszemy jako:

    \[E_{w}^{koń}=c_v  \frac{p_2V_2}{R} = c_v  \frac{p_2V_1}{R}\left(\frac{p_1}{p_2}\right)^{\frac{1}{\kappa}}\]

Energia potencjalna objętości

E_{v}^{koń}=\frac{R}{c_v} E_{w}^{koń} = R  \frac{p_2V_1}{R}\left(\frac{p_1}{p_2}\right)^{\frac{1}{\kappa}}

Całkowita energia końcowa

Podsumowując całkowita energia końcowa to:

    \[E^{koń}= (c_v+R)n\frac{p_2V_1}{nR}\left(\frac{p_1}{p_2}\right)^{\frac{1}{\kappa}}\]

Wyznaczenie pracy wykonanej nad balonem

Praca wykonana nad balonem powinna równać się nadmiarowi energii całkowitej w sytuacji końcowej w porównaniu z sytuacją początkową:

    \[W=E^{koń}-E^{pocz}\]

    \[W=(c_v+R)n\frac{p_2V_1}{nR}\left(\frac{p_1}{p_2}\right)^{\frac{1}{\kappa}} - gh\left(M+\frac{m}{2}\right)-(c_v+c_p)nT_1\]

    \[W=(c_v+R)n\left(\frac{p_2V_1}{nR}\left(\frac{p_1}{p_2}\right)^{\frac{1}{\kappa}}-T_1\right) - gh\left(M+\frac{m}{2}\right)\]

    \[W=(c_v+R)n\left(\frac{p_1V_1}{nR}\left(\frac{p_1}{p_2}\right)^{\frac{1}{\kappa}-1}-T_1\right) - gh\left(M+\frac{m}{2}\right)\]

    \[W=(c_v+R)nT_1\left(\left(\frac{p_1}{p_2}\right)^{\frac{1}{\kappa}-1}-1\right) - gh\left(M+\frac{m}{2}\right)\]

i na koniec skorzystamy z relacji między ciepłami molowymi przy stałym ciśnieniu c+_ i stałej objętości c_vc_p=c_v+R aby zapisać:

    \[W=c_p nT_1\left(\left(\frac{p_1}{p_2}\right)^{\frac{1}{\kappa}-1}-1\right) - gh\left(M+\frac{m}{2}\right)\]

To właśnie będzie ostateczne wyrażenie na pracę wykonaną nad balonem wyrażoną w języku znanych parametrów.

Odpowiedź do zadania T3 z 73 Olimpiady Fizycznej

Praca jaką musimy wykonać aby ściągnąć balon na ziemię wynosi:

    \[W=c_pnT_1\left(\left(\frac{p_1}{p_2}\right)^{\frac{1}{\kappa}-1}-1\right) - gh\left(M+\frac{m}{2}\right)\]

.

Podsumowanie

Ten artykuł został stworzony przez Tutorów udzielających korepetycji olimpijskich – są to korepetycje w ramach których przygotowujemy pasjonatów fizyki do udziału w olimpiadzie fizycznej. Zapraszam cię do zapoznania się z ofertą korepetycji do olimpiady fizycznej. Zachęcam cię również do zostawienia komentarza jeśli masz jakieś pytania, przemyślenia, bądź uważasz że powinniśmy rozbudować. zmodyfikować w jakiś sposób artykuł.

Mam nadzieję, że artykuł okazał się pomocny i pomógł ci w zrozumieniu jakie było poprawne rozwiązanie zadania T3 z 73 Olimpiady Fizycznej oraz w wyrobieniu intuicji na temat pracy objętościowej lub inaczej energii potencjalnej objętości.

0 0 votes
Article Rating
Subscribe
Powiadom o
guest
2 komentarzy
najstarszy
najnowszy oceniany
Inline Feedbacks
View all comments
Dawid

Dzień dobry,
zanim podzielę się swoimi przemyśleniami na temat tego zadania, to składam podziękowanie za tworzenie i udostępnianie darmowych materiałów do Olimpiady Fizycznej.
Wydaje mi się, że w tym zadaniu, zamiast mówić o energii objętościowej, można użyć pojęcia entalpii i wyniki wydają się być tożsame (znalazłem wyprowadzenie entalpii w drugiej części „Fizyki doświadczalnej” prof. Szczepana Szczeniowskiego), jednak nie mam pewności, czy jest to w ogólności poprawna metoda, bowiem nie udało mi się znaleźć w literaturze zbyt wielu informacji o tym, czym jest entalpia, oprócz tamtego wyprowadzenia.