Praca Objętościowa

Zadanie T3 z 73 Olimpiady Fizycznej to pierwsze zadanie teoretyczne nad którym miałem okazję się zastanawiać w tej edycji. Bardzo popularnymi podejściami do tego zadania było całkowanie oraz przyjmowanie dodatkowych (niepotrzebnych) założeń o atmosferze. Poprawne rozwiązanie tego zadania wymagało zrozumienia pracy objętościowej. I to właśnie o niej opowiem w tym artykule. Po wprowadzeniu pojęcia pracy objętościowej przedstawię szczegółowe rozwiązanie zadania T3 z 73 Olimpiady Fizycznej i pokażę jak pracę objętościową można zastosować w praktyce 🙂

Wyobraźmy sobie że chcemy napompować balon głęboko pod powierzchnią wody. Intuicja podpowiada nam że będziemy musieli się dużo bardziej namęczyć niż gdybyśmy pompowali balon normalnie w powietrzu jak to zwykliśmy robić 🙂

Termodynamika - pompowanie balonika przy różnym ciśnieniu zewnętrznym.

Dlaczego będzie nam ciężej? Czemu pod wodą musimy bardziej się napracować? I gdzie ta nadmiarowa praca się podziewa? Zgodnie z zasadą zachowania energii nie może przecież zniknąć.

Prawo Pascala dla balona zanurzonego w wodzie.

Kiedy zwiększamy objętość balona pod wodą zabieramy przestrzeń wodzie dookoła balona. Ta woda musi się gdzieś podziać i jedynym miejscem w które może się przemieścić jest powierzchnia zbiornika z cieczą. Oczywiście ciecz przemieszczając się do góry zwiększy swoją energię potencjalną. Zwiększy ją dokładnie o $E_v=M_c g h$ gdzie $M_c$ to masa cieczy natomiast $h$ to głębokość balona. Korzystając ze wzoru na gęstość cieczy (na głębokości $h$ ) możemy zapisać $M_c=\rho_c(h) V_c$ to energię objętościową możemy zapisać jako:

$E_v=\rho_c V_c g h$

W szczególnym przypadku gdy gęstość cieczy jest stała możemy dodatkowo skorzystać ze wzoru na ciśnienie hydrostatyczne $p=\rho g h$ i otrzymać ostatecznie

$E_v=pV$

Energia ta związana z energią potencjalną ośrodka wypełniającego otoczenie przedmiotu może być nazwana energią potencjalną objętości, Energią objętościową lub pracą objętościową. W przypadku zmiennej gęstości $\rho(h)$ znacznie ciężej będzie skontrolować zmianę energię w układzie w związku z pojawieniem się balona. W związku z tym posłużymy się inną metodą aby wyznaczyć pracę objętościową.

Praca objętościowa – Praca przeciwko ciśnieniu otoczenia

Wróćmy do omawianego wcześniej przykładu pompowania balona pod wodą. Kiedy zwiększamy objętość balona o $dV$ wykonujemy pracę nad otoczeniem o stałym ciśnieniu $p$ (zakładamy tutaj że balon jest na tyle mały że możemy przyjąć stałe ciśnienie dookoła niego).

termodynamika - wykres pracy od ciśnienia

Mamy do czynienia z pracą nad cieczą o stałym ciśnieniu. Wartość tej pracy możemy odczytać z wykresu P-V. $W_v=pV$ . To krótkie wyprowadzenie jest w zupełności ogólne i nie wymaga założenia o stałej gęstości ośrodka! Wykonana praca posłużyła do zwiększenia energii otoczenia. Pracę objętościową możemy wyprowadzić w jeszcze jeden sposób.

Związek pracy objętościowej z siłą wyporu

Samo sformułowanie praca objętościowa sugeruje że istnieje jakaś siła związana z tą energią. Oczywiście istnieje – jest to siła wyporu $F_w=\rho g V$ .

Wyobraźmy sobie że obiekt o objętości $V(h)$ (ta objętość może się zmieniać wraz z głębokością) powoli zanurzamy w wodzie aż do głębokość $h$ . Aby to zrobić oczywiście będziemy musieli wykonać pracę przeciwko sile wyporu. Policzenie tej pracy nie będzie skomplikowane ponieważ siła wyporu jest stała $F_w=\rho_c(h) g V(h)$ na całej drodze $h$

$dW=F_w\cdot dh = \rho_c(h) g V(h) dh = Vdp$

Ta drobna praca przeciwko sile wyporu zostanie przeznaczona na wzrost dwóch różnych energii. Na wzrost energii otoczenia (to właśnie tą energię nazywamy energią potencjalną objętości lub pracą objętościową) oraz na wzrost energii wewnętrznej ciała zmieniającego swoją objętości (np. balona z powietrzem). Możemy zatem zapisać:

$\textrm{[praca siły wyporu] }= \textrm{[praca wykonana nad gazem] }+ \textrm{[praca objętościowa (zmiana energii otoczenia)]}$

Drobna raca wykonana nad gazem to oczywiście $-pdV$ . Drobną pracę objętościową natomiast zapiszemy jako $dE_v$ .

$Vdp=-pdV+dE_v$

$Vdp+pdV=dE_v$

Kożystając z reguły Leibniza (wzoru na pochodną iloczynu funkcji) zapiszemy:

$d(pV)=dE_v$

I ostatecznie sumując wszystkie drobne zmiany na drodze zanurzania ciała otrzymujemy dobrze już nam znany wzór

$E_v=pV$

Optymalizacja energii czarowania królików

Powyższe rozumowanie możemy przedstawić w obrazowy sposób. Jeśli magik planowałby wyczarować królika na ziemi musiał by wykorzystać więcej energii niż wykorzystałby na wyczarowanie tego samego królika w próżni. Nadmiar energii byłby równy omawianej właśnie objętościowej energii potencjalnej $E_v = pV$ .

Energia potrzebna do wykonania pracy - wytłumaczenie

Przyjmując standardowe ciśnienie atmosferyczne $p=10^{5}pa$ oraz objętość królika $V = 3.8l=3.8\cdot 10^{-3}$ (średnia objętość dorosłego białego królika nowozelandzkiego) energia objętościowa królika wyniesie $E_v=pV=380J$ . Dzięki temu obliczeniu magik będzie w stanie poprawnie obliczyć ilość energii niezbędnej do wykonania sztuczki.

Wyposarzeni w wiedzę o 0bjętościowej energii potencjalnej (objętościowej pracy) jesteśmy gotowi na rozwiązanie zadania T3 z 73 Olimpiady Fizycznej. Standardowo zacznijmy od treści zadania.

Treść zadania T3 z 73 Olimpiady Fizycznej

Balon obserwacyjny o masie całkowitej (wraz z wypełniającym go helem, gondolą oraz załogą) $M$ unosi się na uwięzi na wysokości h nad ziemią, gdzie ciśnienie wynosi $p_1$ , a temperatura jest równa $T_1$ . Balon jest wypełniony n molami helu o temperaturze początkowo równej temperaturze otoczenia. Powłoka balonu jest wiotka. Masa liny (części łączącej ziemię z gondolą) jest równa m i nie jest pomijalna w porównaniu z $M$ . Nie wieje wiatr. Wyznacz pracę $W$ , jaką należy wykonać, aby ściągnąć balon na ziemię, gdzie ciśnienie powietrza wynosi $p_2$ . Zakładamy, że ściąganie jest na tyle wolne, że można pominąć opór powietrza, ale na tyle szybkie, że wypełniający balon hel nie wymienia ciepła z otoczeniem, tzn. przemiana helu jest adiabatyczna i spełnia równanie $pV^{\kappa}=const.$ gdzie $\lappa = \frac{C_v+R}{C_v}$ , przy czym $C_V=\frac{3}{2}R$ jest ciepłem molowym helu przy stałej objętości, natomiast R jest uniwersalną stałą gazową. Zakładamy również, że podczas ściągania balonu lina jest stale naprężona. Pomiń gęstość powietrza w porównaniu z gęstością powłoki i gondoli. Masy molowe helu i powietrza to odpowiednio $M_{He}$ oraz $M_{p}$ . Przyspieszenie ziemskie wynosi $g$ .
Podaj wynik liczbowy dla $n = 50000 moli$ , $h = 5000 m$ , $p_1 = 50 kPa$ , $T_1 = 280 K$ , $p_2 = 100 kPa$ , $M = 500 kg$ , $m = 200 kg$ i przyjmując, że $R = 8,31 \frac{J}{mol\cdot K}$ , $g = 9,81 \frac{m}{s^2}$ , $M_{He} = 4 \frac{kg}{kmol}$ oraz $M_p = 29 \frac{kg}{kmol}$ .
Treść zadania zaczerpnięta z Archiwum zadań KGOF

Rozwiązanie zadania T3 z 73 Olimpiady Fizycznej

Wstępna analiza

Zadanie T3 pochodzi z działu termodynamika, który jest trzecim najczęściej pojawiającym się tematem na Olimpiadzie Fizycznej. Więcej o tematach jakie pojawiają się na Olimpiadzie, dowiecie się z jednego z naszych artykułów.

Standardowo rozpocznijmy zadanie od rysunku. Początkowo mamy balon o masie $M$ znajdujący się na wysokości $h$ w gazem o parametrach $p_1$ , $T_1$ , $V_1$ w środku oraz linkę o masie $m$ ze środkiem masy na wysokości $\frac{h}{2}$ . Pod koniec balon i linka znajdują się na wysokości $0$ . Gaz w balonie opiszemy parametrami $p_2$ , $v_2$ , $T_2$

Na niebiesko na rysku oznaczyłem wartości których nie mamy podanych w treści zadania – $V_1$ , $V_2$ , $T_2$ jednak będziemy w stanie je wyznaczyć.

Do rozwiązania możemy podejść na dwa sposoby. Możemy wykorzystać:

Metodę siłową – polegającą na rozpisaniu wszystkich sił działających na balon w trakcie opuszczania go i policzeniu pracy każdej z tych sił.
Metodę energetyczną – Polegającą na porównaniu energii całkowitej układu w sytuacji początkowej oraz w sytuacji końcowej. Różnica tych energii będzie właśnie poszukiwana praca.

Treść zadania, precyzyjnie opisując stan początkowy oraz końcowy, wydaje się popychać nas naturalnie w kierunku metody energetycznej. Pytanie tylko czy jesteśmy w stanie zidentyfikować i policzyć wszystkie rodzaje energii pojawiające się w naszym układzie? Na myśl na pewno przychodzą nam:

Energia potencjalna grawitacji balona o masie $M$ – $E_{gb}$
Energia potencjalna grawitacji liny o masie $m$ – $E_{gl}$
Energia wewnętrzna gazu w balonie – $E_w$
Energia oddziaływania balonu z atmosferą – energia potencjalna objętości (praca objętościowa) – $E_v$

Wydaje się że układ nie będzie przechowywał energii w żadnej innej postaci. Przeanalizujmy zatem sytuację początkową.

Praca objętościowa i energia wewnętrzna

Jak pokazaliśmy w rozdziale ’Związek pracy objętościowej z siłą wyporu’ pracę siły wyporu możemy zapisać jako $W_{F_w}= \int V dp$ . Praca ta spowoduje zmianę energii wewnętrznej gazu $\Delta E_w= \int p dV$ (korzystam tutaj z faktu że w przemianie adiabatycznej cała zmiana energii wewnętrznej równa jest pracy gazu) oraz energii otoczenia $\Delta E_v$ .

Podczas przemiany adiabatycznej spełniona jest zależność:

$pV^{\kappa}=const.$

Różniczkując powyższy warunek, możemy zauważyć ciekawy związek, między zmianą energii wewnętrznej gazu $\Delta E_w= \int p dV$ , a zmianą energii otoczenia $\Delta E_v$

$d\left(pV^{\kappa}\right)=0$

Przeprowadźmy następujące przekształcenia:

$p\kappa V^{kappa-1} dV - V^{\kappa} dp=0$

$p\kappa dV - V dp=0$

$\kappa \int p dV = \int V dp$

Gdzie $\int p dV$ to praca wykonana nad gazem która w przemianie adiabatycznej równa jest zmianie energii wewnętrznej gazu. Natomiast $\int V dp$ to suma energii objętościowej oraz energii wewnętrznej gazu.

$\kappa \Delta E_w = \Delta E_v+ \Delta E_w$

$\kappa - 1 \Delta E_w = \Delta E_v$

Korzystając z definicji $\kappa=1+\frac{R}{c_v}$ zapiszemy:

$\frac{R}{c_v}\Delta E_w = \Delta E_v$

Otrzymując proporcjonalność między $}\Delta E_w$ a $}\Delta E_v$ . Oznacza to że w naszym zadaniu będziemy musieli policzyć jedynie energię wewnętrzna o objętościowa „policzy się sama”.

Sytuacja początkowa

energia potencjalna grawitacji balona

Początkowo energia potencjalna grawitacji balona wynosi $E_{gb}^{pocz} = Mgh$

energia potencjalna grawitacji liny

Początkowo energia potencjalna grawitacji liny $E_{gl}^{pocz} = mg \frac{h}{2}$

Energia wewnętrzna gazu

Energia wewnętrzna gazu w balonie w chwili początkowej to $E_{w}^{pocz}=c_v n T_1$

Energia potencjalna objętości

Energia potencjalna objętości – $E_{v}^{pocz}=\frac{R}{c_v} E_w^{pocz}= R n T_1= c_p n T_1$ .

Całkowita energia początkowa

Całkowita energia początkowa to:

$E^{pocz}= gh\left(M+\frac{m}{2}\right)+(c_v+R)nT_1$

Sytuacja końcowa

Analogiczne rozumowanie przeprowadzimy dla sytuacji końcowej, dla wszystkich czterech form energii.

energia potencjalna grawitacji balona

Końcowa energia potencjalna grawitacji balona to $E_{gb}^{koń}=0$

energia potencjalna grawitacji liny

Końcowa energia potencjalna grawitacji liny to $E_{gl}^{koń}=0$

Energia wewnętrzna gazu

Końcowa Energia wewnętrzna gazu w balonie to $E_{w}^{koń}=c_v n T_2$ .
Temperatura $T_2$ jest nieznana możemy ją jednak wyznaczyć wiedząc że gaz w balonie ulega przemianie adiabatycznej z ciśnienia $p_1$ i objętości $V_1$ do ciśnienia $p_2$ .

$p_1V_1^{\kappa}=p_2V_2^{\kappa}$

Zatem objętość końcowa to:

$V_2=V_1\left(\frac{p_1}{p_2}\right)^{\frac{1}{\kappa}}$

Teraz z równania Clapeyrona dla sytuacji końcowej $p_2V_2=nRT_2$

wyznaczymy temperaturę $T_2$

$T_2=\frac{p_2V_2}{nR} = \frac{p_2V_1}{nR}\left(\frac{p_1}{p_2}\right)^{\frac{1}{\kappa}}$

Czyli końcową energię wewnętrzną gazu zapiszemy jako:

$E_{w}^{koń}=c_v \frac{p_2V_2}{R} = c_v \frac{p_2V_1}{R}\left(\frac{p_1}{p_2}\right)^{\frac{1}{\kappa}}$

Energia potencjalna objętości

$E_{v}^{koń}=\frac{R}{c_v} E_{w}^{koń} = R \frac{p_2V_1}{R}\left(\frac{p_1}{p_2}\right)^{\frac{1}{\kappa}}$

Całkowita energia końcowa

Podsumowując całkowita energia końcowa to:

$E^{koń}= (c_v+R)n\frac{p_2V_1}{nR}\left(\frac{p_1}{p_2}\right)^{\frac{1}{\kappa}}$

Wyznaczenie pracy wykonanej nad balonem

Praca wykonana nad balonem powinna równać się nadmiarowi energii całkowitej w sytuacji końcowej w porównaniu z sytuacją początkową:

$W=E^{koń}-E^{pocz}$

$W=(c_v+R)n\frac{p_2V_1}{nR}\left(\frac{p_1}{p_2}\right)^{\frac{1}{\kappa}} - gh\left(M+\frac{m}{2}\right)-(c_v+c_p)nT_1$

$W=(c_v+R)n\left(\frac{p_2V_1}{nR}\left(\frac{p_1}{p_2}\right)^{\frac{1}{\kappa}}-T_1\right) - gh\left(M+\frac{m}{2}\right)$

$W=(c_v+R)n\left(\frac{p_1V_1}{nR}\left(\frac{p_1}{p_2}\right)^{\frac{1}{\kappa}-1}-T_1\right) - gh\left(M+\frac{m}{2}\right)$

$W=(c_v+R)nT_1\left(\left(\frac{p_1}{p_2}\right)^{\frac{1}{\kappa}-1}-1\right) - gh\left(M+\frac{m}{2}\right)$

i na koniec skorzystamy z relacji między ciepłami molowymi przy stałym ciśnieniu $c+_$ i stałej objętości $c_v$ – $c_p=c_v+R$ aby zapisać:

$W=c_p nT_1\left(\left(\frac{p_1}{p_2}\right)^{\frac{1}{\kappa}-1}-1\right) - gh\left(M+\frac{m}{2}\right)$

To właśnie będzie ostateczne wyrażenie na pracę wykonaną nad balonem wyrażoną w języku znanych parametrów.

Odpowiedź do zadania T3 z 73 Olimpiady Fizycznej

Praca jaką musimy wykonać aby ściągnąć balon na ziemię wynosi:

$W=c_pnT_1\left(\left(\frac{p_1}{p_2}\right)^{\frac{1}{\kappa}-1}-1\right) - gh\left(M+\frac{m}{2}\right)$

Podsumowanie

Ten artykuł został stworzony przez Tutorów udzielających korepetycji olimpijskich – są to korepetycje w ramach których przygotowujemy pasjonatów fizyki do udziału w olimpiadzie fizycznej. Zapraszam cię do zapoznania się z ofertą korepetycji do olimpiady fizycznej. Zachęcam cię również do zostawienia komentarza jeśli masz jakieś pytania, przemyślenia, bądź uważasz że powinniśmy rozbudować. zmodyfikować w jakiś sposób artykuł.

Mam nadzieję, że artykuł okazał się pomocny i pomógł ci w zrozumieniu jakie było poprawne rozwiązanie zadania T3 z 73 Olimpiady Fizycznej oraz w wyrobieniu intuicji na temat pracy objętościowej lub inaczej energii potencjalnej objętości.

0 0 votes

Article Rating

Current ye@r *

2 komentarzy

najstarszy

najnowszy oceniany

Inline Feedbacks

View all comments

Dawid

11 miesięcy temu

Dzień dobry,
zanim podzielę się swoimi przemyśleniami na temat tego zadania, to składam podziękowanie za tworzenie i udostępnianie darmowych materiałów do Olimpiady Fizycznej.
Wydaje mi się, że w tym zadaniu, zamiast mówić o energii objętościowej, można użyć pojęcia entalpii i wyniki wydają się być tożsame (znalazłem wyprowadzenie entalpii w drugiej części „Fizyki doświadczalnej” prof. Szczepana Szczeniowskiego), jednak nie mam pewności, czy jest to w ogólności poprawna metoda, bowiem nie udało mi się znaleźć w literaturze zbyt wielu informacji o tym, czym jest entalpia, oprócz tamtego wyprowadzenia.

Odpowiedz

Korepetycje z Fizyki z pasją!

Autor

Reply to Dawid

Dziękuję ci bardzo za miłe słowa,
Zdecydowanie motywują one do częstszych publikacji 🙂

To prawda, energia pomniejszona o pracę objętościową nazywa się entalpią — jest to jeden z czterech podstawowych potencjałów termodynamicznych.

Wyjaśnienie entalpii, jakie pamiętam z czasów studiów to właśnie – „Jeśli chcemy wyczarować królika w atmosferze o stałym ciśnieniu p to musimy zainwestować w ten proces energię 'U-pV’, gdzie U to energia wewnętrzna królika, a V to jego objętość” 🙂

Entalpia jest wielkością używaną w chemii znacznie częściej niż energia wewnętrzna, ponieważ zmiany objętości podczas przemian chemicznych potrafią być bardzo duże i 'praca objętościowa’ ma istotny wpływ na bilans energetyczny.

Jako że pojęcie entalpii jest dalekie, od programu licealnego, starałem się o nim nie rozpisywać, aby nikogo nie przestraszyć. Chociaż może dodanie jednego akapitu na ten temat nie byłoby złym pomysłem 🙂

Praca Objętościowa – Rozwiązanie zadania T3 z I etapu 73 Olimpiady Fizycznej

Praca objętościowa

Praca objętościowa – Praca przeciwko ciśnieniu otoczenia

Związek pracy objętościowej z siłą wyporu

Optymalizacja energii czarowania królików

Treść zadania T3 z 73 Olimpiady Fizycznej

Rozwiązanie zadania T3 z 73 Olimpiady Fizycznej

Wstępna analiza

Praca objętościowa i energia wewnętrzna

Sytuacja początkowa

energia potencjalna grawitacji balona

energia potencjalna grawitacji liny

Energia wewnętrzna gazu

Energia potencjalna objętości

Całkowita energia początkowa

Sytuacja końcowa

energia potencjalna grawitacji balona

energia potencjalna grawitacji liny

Energia wewnętrzna gazu

Energia potencjalna objętości

Całkowita energia końcowa

Wyznaczenie pracy wykonanej nad balonem

Odpowiedź do zadania T3 z 73 Olimpiady Fizycznej

Podsumowanie

Fizyka z Pasją!

Korepetycje z Fizyki

O Fizyce Olimpijskiej

Bądź na bieżąco!