Olimpiada Fizyczna, Rozwiązania zadań

Niedoskonałe mierniki elektryczne

Znajomość przyrządów pomiarowych oraz umiejętność posługiwania się nimi jest bardzo przydatna. O podstawowych urządzeniach pomiarowych jakimi są woltomierz i amperomierz uczymy się już w szkole. Ale czy, aby na pewno poznajemy całą wiedze na ich temat? Omawiane na zajęciach w szkole idealne przyrządy pomiarowe różnią się znacznie od tych, realnych – nieidealnych przyrządów. Na szczęście na tegorocznej Olimpiadzie Fizycznej pojawiają się nieidealne mierniki elektryczne.

Na przykładzie zadania T1 z 72 Olimpiady Fizycznej (oraz jego rozwiązania) poznamy własności rzeczywistych mierników, ustalimy jak ich używać, by dostawać rzeczywiste wyniki oraz ustalimy jak zmieniać zakres pomiarowy rzeczywistego woltomierza i amperomierza.

Zadanie T1 – Niedoskonałe mierniki elektryczne na Olimpiadzie Fizycznej

Pewien układ elektroniczny mierzy napięcie w zakresie od 0 V do U_0 i ma stały opór R_0. Dołączając do niego w odpowiedni sposób (szeregowo lub równolegle) pewien opornik utworzono z niego woltomierz o zakresie pomiarowym do U_V (U_V>U_0). Z drugiego takiego samego układu elektronicznego, przez dołączenie w odpowiedni sposób innego opornika, utworzono amperomierz o zakresie pomiarowym do I_A. W celu wyznaczenia wartości oporu R pewnego elementu dokonano tymi przyrządami pomiaru napięcia i natężenia prądu w dwóch przedstawionych na rysunkach obwodach.

schemat obwodu z amperomierzem, woltomierzem i opornikiem.
Miernikami eklektycznymi na olimpiadzie fizycznej

Iloraz wskazań mierników \frac{U}{I} okazał się równy R_1 w jednym z obwodów, a R_2 w drugim, przy czym R_2>R_1. Ustal, któremu obwodowi odpowiada R_1, a któremu R_2 i wyznacz R_0 oraz R.

Podaj wyniki liczbowe dla U_0=0,5 V, U_V=100 V, I_A=0,2 A, R_1=450  \Omega, R_2=460  \Omega.

To zadanie, aż prosi się, by podzielić je na części.
Zaplanujmy nasze działania w następujący sposób:
– najpierw omówimy operacje wykonane z woltomierzem i amperomierzem,
– następnie przejdziemy do analizy pierwszego i drugiego obwodu.

schemat rozwiązywania zadań

Jak działa nieidealny woltomierz?

Idealny woltomierz ma nieskończony opór – dzięki temu nie wpływa na mierzony układ ponieważ płynie przez niego nieskończenie mały prąd. Jest urządzeniem, które mierzy różnicę potencjałów między swoimi wyjściami.
Nieidealny woltomierz ma skończony opór. Oznacza to, że przepływa przez niego jakiś prąd. Nieidealny woltomierz wpływa na rozkład natężeń i napięć w mierzonym układzie. O nieidealnym woltomierzu możemy myśleć jak o równolegle połączonym idealnym woltomierzu i oporniku. Im większy opornik tym “idealniejszy” będzie nasz woltomierz. W granicy oporu dążącego do nieskończoności R\longrightarrow \infty woltomierz stanie się idealny.

Woltomierz z treści zadania

Schemat miernika elektrycznego (woltomierza) w zadaniu na Olimpiadzie Fizycznej

Woltomierz z treści zadania przedstawiony jest na powyższym rysunku po lewej stronie. Dla rozróżnienia nieidealny woltomierz oznaczajmy V^{*} a idealny V. Napięcie na nim może spaść maksymalnie o U_0. Oznacza to, że maksymalny bezpieczny prąd płynący przez woltomierz V^{*} to I=\frac{U_0}{R}. Po dołączeniu szeregowo do woltomierza V^{*} opornika r_U (prawy rysunek) maksymalny spadek napięcia na układzie powinien wynosić U_V. Zapiszemy zatem I=\frac{U_V}{R_0+r_U}. Łącząc otrzymane wyrażenia na prąd – otrzymujemy proporcję \frac{U_V}{U_0}=\frac{R_0+r_U}{R_0}, którą wykorzystamy w dalszej części zadania.

Jak działa nieidealny amperomierz?

Amperomierz mierzy wartość natężenia prądu jaki przez niego przepływa. Idealny amperomierz ma zerowy opór. Natomiast nieidealny amperomierz posiada pewien zerowy opór i tym samym zmniejsza natężenie prądu przepływającego przez niego. Niedoskonały amperomierz możemy sobie wyobrazić jako idealny amperomierz połączony szeregowo z opornikiem. Im mniejsza wartość tego oporu, tym “idealniejszy” będzie nasz amperomierz.

Jak z woltomierza zrobić amperomierz?

Jeśli podłączymy woltomierz równolegle z małym opornikiem, to mierząc spadek napięcia na nim będziemy w stanie łatwo odgadnąć prąd jaki płynie przez ten opornik. W zadaniu do niedoskonałego woltomierza o oporze wewnętrznym R_0 podłączając równolegle mały opornik r_A  – otrzymamy niedoskonały amperomierz przedstawiony na rysunku poniżej. 

Schemat miernika elektrycznego (woltomierza) w zadaniu na Olimpiadzie Fizycznej
schemat amperomierza

Prąd płynący przez amperomierz jest ograniczony maksymalnym możliwym napięciem, jakie może zmierzyć woltomierz U_0. Dla maksymalnego wskazania woltomierza prąd I_A płynący przez woltomierz możemy policzyć z U_0 =  r_u \left(I_A-I\right). Wstawiając I=\frac{U_0}{R_0} dostajemy U_0 =  r_A \left(I_A-\frac{U_0}{R_0}\right). Otrzymane równanie przyda nam się w dalszej części zadania.

Podsumowując: otrzymany przyrząd możemy traktować jako amperomierz o oporze \frac{1}{\frac{1}{r_A}+\frac{1}{R_0}}.

Analiza pierwszego układu

Pora przejść do właściwej części zadania. Mamy układ składający się z oporników oraz niedoskonałych przyrządów: woltomierza i amperomierza. Nasze umiejętności rozwiązywania układów z nieidealnymi miernikami są raczej nikłe. Szczęśliwie jesteśmy w stanie je zastąpić powyżej wprowadzonymi układami modelującymi takie mierniki.

układ oporników i niedoskonałych mierników elektrycznych na Olimpiadzie Fizycznej

Jak widać otrzymujemy zwykły układ oporników, którego rozwiązanie nie powinno nam sprawić większych problemów. Zdefiniujmy sobie w tym celu kilka przydatnych wartości. U – napięcie baterii podłączonej do układu, I – prąd wypływający z baterii, I_1 i I_2 czyli odpowiednio prądy wpływające do pierwszej i drugiej gałęzi. 

Zapisując prawo Ohma dla drugiej gałęzi otrzymujemy R+\frac{R_0\cdot r_A}{R_0+r_A}=\frac{U}{I_2}. Wskazanie woltomierza w tym obwodzie to U natomiast amperomierza I_2. Zatem wyznaczona w tym układzie wartość oporu R to:

    \[R_a=R+\frac{r_AR_0}{R_0+r_A}\]

Zwróćmy uwagę na to, że w granicy idealnego amperomierza r_A\longrightarrow \infty wyznaczony w tym układzie opór R_a zbiega do swojej realnej wartości R. Niedoskonałość woltomierza natomiast nie ma wpływu na wynik pomiaru. Chwilowo oznaczam zmierzoną wartość oporu jako R_a – ponieważ jeszcze nie wiemy, czy jest to opór R_1, czy R_2.

Analiza drugiego układu

Korzystając z doświadczenia z poprzedniej części zadania od razu zastąpmy niedoskonałe mierniki wyprowadzonymi układami zastępczymi. Zdefiniujmy również zmienne U, I, I_1, _2 znaczące dokładnie to samo co w poprzednim podpunkcie.

Analiza drugiego układu

Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa spadek napięcia na woltomierzu i amperomierzu powinien wynosić U. Zapiszemy zatem:

    \[(R_0+r_u)I_1+\frac{R_0r_A}{R_0+r_A}I=U\]

Analogicznie spadek napięcia na amperomierzu oraz oporniku R wyniesie U:

    \[RI_2+\frac{R_0r_A}{R_0+r_A}I=U\]

Z pierwszego prawa Kirchhoffa zapiszemy również I=I_1+I_2. Pomnóżmy stronami ostatnie równanie przez R_0+r_U i oznaczmy wskazanie woltomierza jako U_V=I(R_0+r_U). Dostajemy ostatecznie układ trzech równań:

    \[\begin{cases} U=U_V+\frac{R_0r_A}{R_0+r_A}I\\ U=RI_2+\frac{R_0r_A}{R_0+r_A}I\\ I=I_1+I_2 \end{cases}\]

Wyznaczmy z niego stosunek spadku napięcia na woltomierzu do natężenia płynącego przez amperomierz:

    \[R_b=\frac{U_V}{I}=\frac{R_0+r_U}{R+R_0+r_U}R\]

Wnioski

Przede wszystkim możemy porównać zmierzone wartości R_a i R_b. Widzimy, że wartość R_a>R natomiast R_b<r. porównując=”” te=”” nierówności=”” z=”” treścią=”” zadania=”” r_2="R_a">R_b=R_1 dowiadujemy się, że opór R_2 został wyznaczony w pierwszym układzie natomiast R_1 w drugim.

    \[\begin{cases} R_1=\frac{R_0+r_u}{R+R_0+r_u}R\\ R_2=R+\frac{r_AR_0}{R_0+r_A}\\ U_0=r_A\left(I_A+\frac{U_0}{R_0}\right)\\ \frac{U_V}{U_0}=\frac{R_0+r_U}{R_0} \end{cases}\]

Zbierając równania otrzymane w każdym z powyższych podpunktów otrzymujemy układ czterech równań. Znane są R_1,\; R_2, \; U_0, \; U_v, poszukujemy R i R_0, a dodatkowo nieznanymi są r_A i r_u. Mamy cztery równania i cztery niewiadome. Oznacza to, że całą analizę fizyczną już skończyliśmy – teraz musimy poradzić sobie z matematyką. Po kilku przekształceniach dostajemy odpowiedź

    \[R=\frac{I_AR_2-U_0}{I_A}=457.5 \Omega\]

    \[R_0=\frac{R_1 U_0}{U_V}\frac{U_0-I_A R_2}{I_A(R_1-R_2)+U_0}=137.3 \Omega\]

Nieco bardziej skomplikowanymi wzorami wyrażają się wzory na dołączone opory. Dlatego podam tylko ich wartości liczbowe r_A=2.55\Omega natomiast r_U=27,3k\Omega.

Ufff! To zadanie zdecydowanie nie należało do krótkich. Zadania z fabułą na Olimpiadzie Fizycznej zwykle nie należą do krótkich. Dobrą strategią w ich przypadku jest podział na mniejsze zadania. Umożliwia to uporządkowanie informacji podanych w treści zadania i ustrukturyzowanie działania. Mierniki elektryczne na Olimpiadzie fizycznej pojawiają się dość często, jednak rzadko w wersji niedoskonałej. Jeśli chcesz zgłębić tematy rzeczywistych mierników nieco głębiej, polecam te artykuły:

  • Jak działa amperomierz?
  • Jak działa woltomierz?
  • Moim zdaniem główną trudnością w tym zadaniu była rozbudowana fabuła, w której bardzo łatwo było się zagubić. Jestem bardzo ciekawy, co według Ciebie było największą trudnością w tym zadaniu. Napisz mi, o tym proszę w komentarzu. Jeśli masz jakieś pytania odnośnie zadania lub uważasz, że o jakimś zagadnieniu mógłbym napisać bardziej szczegółowo – daj mi znać! Jeśli natomiast chciałbyś porozwiązywać zadania olimpijskie wspólnie i nauczyć się sprytnych technik radzenia sobie z nimi – zapraszam na specjalny kurs fizyki olimpijskiej, czyli korepetycje przygotowane idealnie pod Olimpiadę Fizycznej.

    0 0 votes
    Article Rating
    Subscribe
    Powiadom o
    guest
    0 komentarzy
    Inline Feedbacks
    View all comments