Niedoskonałe mierniki elektryczne

Znajomość przyrządów pomiarowych oraz umiejętność posługiwania się nimi jest bardzo przydatna. O podstawowych urządzeniach pomiarowych jakimi są woltomierz i amperomierz uczymy się już w szkole. Ale czy, aby na pewno poznajemy całą wiedze na ich temat? Omawiane na zajęciach w szkole idealne przyrządy pomiarowe różnią się znacznie od tych, realnych – nieidealnych przyrządów. Na szczęście na tegorocznej Olimpiadzie Fizycznej pojawiają się nieidealne mierniki elektryczne.

Na przykładzie zadania T1 z 72 Olimpiady Fizycznej (oraz jego rozwiązania) poznamy własności rzeczywistych mierników, ustalimy jak ich używać, by dostawać rzeczywiste wyniki oraz ustalimy jak zmieniać zakres pomiarowy rzeczywistego woltomierza i amperomierza.

Zadanie T1 – Niedoskonałe mierniki elektryczne na Olimpiadzie Fizycznej

Pewien układ elektroniczny mierzy napięcie w zakresie od do i ma stały opór . Dołączając do niego w odpowiedni sposób (szeregowo lub równolegle) pewien opornik utworzono z niego woltomierz o zakresie pomiarowym do (>). Z drugiego takiego samego układu elektronicznego, przez dołączenie w odpowiedni sposób innego opornika, utworzono amperomierz o zakresie pomiarowym do . W celu wyznaczenia wartości oporu pewnego elementu dokonano tymi przyrządami pomiaru napięcia i natężenia prądu w dwóch przedstawionych na rysunkach obwodach.

Iloraz wskazań mierników okazał się równy w jednym z obwodów, a w drugim, przy czym >. Ustal, któremu obwodowi odpowiada , a któremu i wyznacz oraz .

Podaj wyniki liczbowe dla

To zadanie, aż prosi się, by podzielić je na części.
Zaplanujmy nasze działania w następujący sposób:
– najpierw omówimy operacje wykonane z woltomierzem i amperomierzem,
– następnie przejdziemy do analizy pierwszego i drugiego obwodu.

Jak działa nieidealny woltomierz?

Idealny woltomierz ma nieskończony opór – dzięki temu nie wpływa na mierzony układ ponieważ płynie przez niego nieskończenie mały prąd. Jest urządzeniem, które mierzy różnicę potencjałów między swoimi wyjściami.
Nieidealny woltomierz ma skończony opór. Oznacza to, że przepływa przez niego jakiś prąd. Nieidealny woltomierz wpływa na rozkład natężeń i napięć w mierzonym układzie. O nieidealnym woltomierzu możemy myśleć jak o równolegle połączonym idealnym woltomierzu i oporniku. Im większy opornik tym “idealniejszy” będzie nasz woltomierz. W granicy oporu dążącego do nieskończoności woltomierz stanie się idealny.

Woltomierz z treści zadania

Woltomierz z treści zadania przedstawiony jest na powyższym rysunku po lewej stronie. Dla rozróżnienia nieidealny woltomierz oznaczajmy a idealny . Napięcie na nim może spaść maksymalnie o . Oznacza to, że maksymalny bezpieczny prąd płynący przez woltomierz to . Po dołączeniu szeregowo do woltomierza opornika (prawy rysunek) maksymalny spadek napięcia na układzie powinien wynosić . Zapiszemy zatem . Łącząc otrzymane wyrażenia na prąd – otrzymujemy proporcję , którą wykorzystamy w dalszej części zadania.

Jak działa nieidealny amperomierz?

Amperomierz mierzy wartość natężenia prądu jaki przez niego przepływa. Idealny amperomierz ma zerowy opór. Natomiast nieidealny amperomierz posiada pewien zerowy opór i tym samym zmniejsza natężenie prądu przepływającego przez niego. Niedoskonały amperomierz możemy sobie wyobrazić jako idealny amperomierz połączony szeregowo z opornikiem. Im mniejsza wartość tego oporu, tym “idealniejszy” będzie nasz amperomierz.

Jak z woltomierza zrobić amperomierz?

Jeśli podłączymy woltomierz równolegle z małym opornikiem, to mierząc spadek napięcia na nim będziemy w stanie łatwo odgadnąć prąd jaki płynie przez ten opornik. W zadaniu do niedoskonałego woltomierza o oporze wewnętrznym podłączając równolegle mały opornik   – otrzymamy niedoskonały amperomierz przedstawiony na rysunku poniżej. 

Prąd płynący przez amperomierz jest ograniczony maksymalnym możliwym napięciem, jakie może zmierzyć woltomierz . Dla maksymalnego wskazania woltomierza prąd płynący przez woltomierz możemy policzyć z . Wstawiając dostajemy . Otrzymane równanie przyda nam się w dalszej części zadania.

Podsumowując: otrzymany przyrząd możemy traktować jako amperomierz o oporze .

Analiza pierwszego układu

Pora przejść do właściwej części zadania. Mamy układ składający się z oporników oraz niedoskonałych przyrządów: woltomierza i amperomierza. Nasze umiejętności rozwiązywania układów z nieidealnymi miernikami są raczej nikłe. Szczęśliwie jesteśmy w stanie je zastąpić powyżej wprowadzonymi układami modelującymi takie mierniki.

Jak widać otrzymujemy zwykły układ oporników, którego rozwiązanie nie powinno nam sprawić większych problemów. Zdefiniujmy sobie w tym celu kilka przydatnych wartości. – napięcie baterii podłączonej do układu, – prąd wypływający z baterii, i czyli odpowiednio prądy wpływające do pierwszej i drugiej gałęzi. 

Zapisując prawo Ohma dla drugiej gałęzi otrzymujemy . Wskazanie woltomierza w tym obwodzie to natomiast amperomierza . Zatem wyznaczona w tym układzie wartość oporu to:

Zwróćmy uwagę na to, że w granicy idealnego amperomierza wyznaczony w tym układzie opór zbiega do swojej realnej wartości . Niedoskonałość woltomierza natomiast nie ma wpływu na wynik pomiaru. Chwilowo oznaczam zmierzoną wartość oporu jako – ponieważ jeszcze nie wiemy, czy jest to opór , czy .

Analiza drugiego układu

Korzystając z doświadczenia z poprzedniej części zadania od razu zastąpmy niedoskonałe mierniki wyprowadzonymi układami zastępczymi. Zdefiniujmy również zmienne , , , znaczące dokładnie to samo co w poprzednim podpunkcie.

Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa spadek napięcia na woltomierzu i amperomierzu powinien wynosić . Zapiszemy zatem:

Analogicznie spadek napięcia na amperomierzu oraz oporniku wyniesie :

Z pierwszego prawa Kirchhoffa zapiszemy również . Pomnóżmy stronami ostatnie równanie przez i oznaczmy wskazanie woltomierza jako . Dostajemy ostatecznie układ trzech równań:

Wyznaczmy z niego stosunek spadku napięcia na woltomierzu do natężenia płynącego przez amperomierz:

Wnioski

Przede wszystkim możemy porównać zmierzone wartości i . Widzimy, że wartość natomiast . porównując=”” te=”” nierówności=”” z=”” treścią=”” zadania=”” dowiadujemy się, że opór został wyznaczony w pierwszym układzie natomiast w drugim.

Zbierając równania otrzymane w każdym z powyższych podpunktów otrzymujemy układ czterech równań. Znane są , poszukujemy i , a dodatkowo nieznanymi są i . Mamy cztery równania i cztery niewiadome. Oznacza to, że całą analizę fizyczną już skończyliśmy – teraz musimy poradzić sobie z matematyką. Po kilku przekształceniach dostajemy odpowiedź

Nieco bardziej skomplikowanymi wzorami wyrażają się wzory na dołączone opory. Dlatego podam tylko ich wartości liczbowe natomiast .

Ufff! To zadanie zdecydowanie nie należało do krótkich. Zadania z fabułą na Olimpiadzie Fizycznej zwykle nie należą do krótkich. Dobrą strategią w ich przypadku jest podział na mniejsze zadania. Umożliwia to uporządkowanie informacji podanych w treści zadania i ustrukturyzowanie działania. Mierniki elektryczne na Olimpiadzie fizycznej pojawiają się dość często, jednak rzadko w wersji niedoskonałej.

Moim zdaniem główną trudnością w tym zadaniu była rozbudowana fabuła, w której bardzo łatwo było się zagubić. Jestem bardzo ciekawy, co według Ciebie było największą trudnością w tym zadaniu. Napisz mi, o tym proszę w komentarzu. Jeśli masz jakieś pytania odnośnie zadania lub uważasz, że o jakimś zagadnieniu mógłbym napisać bardziej szczegółowo – daj mi znać! Jeśli natomiast chciałbyś porozwiązywać zadania olimpijskie wspólnie i nauczyć się sprytnych technik radzenia sobie z nimi – zapraszam na specjalny kurs fizyki olimpijskiej, czyli korepetycje przygotowane idealnie pod Olimpiadę Fizycznej.