nauka z fizyką olimpijską

Metody zamiany jednostek i ich rola w fizyce

Poznaj tajemnice zamiany i wykorzystania jednostek w fizyce z doświadczonymi korepetytorami z Fizyki Olimpijskiej. Odkryj sprawdzanie poprawności oraz wyprowadzanie wzorów z wykorzystaniem jednostek, a także łatwe sposoby na ich zamianę. Jest to temat, któremu mało kto poświęca należytą uwagę, a wręcz wiele osób uznaje go za niegodny czasu. Tymczasem jednostki mogą nam w ogromnym stopniu ułatwić życie i sprawić, że sprawdzenie poprawności trudnych przekształceń możemy przeprowadzić w kilka sekund! Nieważne, czy jesteś uczniem przygotowującym się do lekcji w szkole, czy studentem uczącym się do kolokwium, czy rozważasz korepetycje z fizyki (na które serdecznie zapraszamy!), czy przygotowujesz się do konkursów lub do olimpiady, w tym artykule poznasz najważniejsze zastosowania jednostek w fizyce. Po zapoznaniu się z przedstawionym materiałem nie będziesz miał problemu z takimi zagadnieniami jak metody zamiany jednostek, analiza wymiarowa, czy jednostki podstawowe układu SI.

Czym są jednostki?

Jednostka to nazwa miary danej wielkości fizycznej, która pozwala nam ujednolicić sposób podawania danej wielkości tak, aby dla każdego był uniwersalny. Na przykład metr jest jednostką długości. Gdy podamy komuś odległość w metrach, każdy, przy pomocy chociażby miarki, jest w stanie sprawdzić jaką odległość mamy na myśli. Byłoby to znacznie trudniejsze, gdybyśmy podali ją choćby w długości ramienia, które ma przecież różną długość dla każdego z nas. Powodowałoby to różnice w oznaczaniu tego samego dystansu.

Z tego powodu w 1971 dokonano wyboru siedmiu podstawowych jednostek układu SI (kilogram, metr, sekunda, amper, kelwin, mol, kandel), które są obecnie powszechnie znane i stosowane, aby w ten sposób zuniwersalizować sposób określania danych wielkości. Kiedyś można było znaleźć wzorce tych wielkości, które wyznaczały ile one wynoszą. Na przykład jeden metr był kiedyś wyznaczany na podstawie pręta wzorcowego. Była to jednak metoda obarczona błędem. Taki wzorzec mógł, się chociażby rozszerzać, niszczeć z biegiem czasu lub ulegać innym nieprzewidzianym zjawiskom. Z czasem pojawiła się potrzeba ustalenia dokładniejszego wzorca i dziś jest nim droga, jaką przebywa światło, w ustalonym czasie. Innym przykładem jest sekunda – dziś określona przez pewną ilość drgań promieniowania o ustalonej długości fali, wysyłanego przez atom cezu-133. I choć te przykłady przyjętych wzorców mogą wydawać się abstrakcyjne, to pozwalają one uniezależnić wzór od wpływu czynników zewnętrznych. Tym samym sprawiają, że na całym świecie dana jednostka oznacza dokładnie to samo.

Tabela podstawowe jednostki układu SI

Metody zamiany jednostek

Sprowadzanie do jednostek podstawowych układu SI

Często, aby w pełni wykorzystać potencjał jednostek w analizie wymiarowej, niezbędne jest sprowadzenie jednostek do jednostek podstawowych układu SI. Polega to na rozpisywaniu jednostek nie podstawowych, jak na przykład wat ( jednostka mocy), na iloczyn odpowiednich potęg wyżej wymienionych jednostek. Jest to coś, co oczywiście można robić na pamięć i wielu nauczycieli tak uczy, wystarczy wtedy zapamiętać, że:

Zamiana wata na jednostki podstawowe SI

A później tak samo zapamiętać zamianę na jednostki podstawowe układu SI, dla kilkunastu / kilkudziesięciu innych jednostek. Proste? Kłaniam się i zazdroszczę osobom, które na to pytanie odpowiadają „Tak”. Mam nadzieję, że tym, którzy powiedzieli „Nie’, sposób, którego ja używam troszeczkę ułatwi sprawę.

Zamiast pamiętać całkowite przekształcenie danej jednostki na jednostki podstawowe SI można ją krok po kroku rozpisywać do coraz bardziej podstawowych jednostek. Na przykładzie wata jako jednostki mocy, moc to ilość energii wykonanej w czasie, zatem możemy rozpisać naszą jednostkę następująco:

zamiana jednostek na jednostki podstawowe układu SI

Być może część z Was na pewnym etapie dojdzie do jednostek, które pamięta jak rozpisać na jednostki podstawowe. Pozostali jednak nie mają się czym martwić, bo powyższy krok można powtarzać do momentu aż bez takiej wiedzy dojdziemy do tego samego wyniku.

Kontynuując powyższy przykład: sekunda jest jednostką podstawową układu SI, zatem nie musimy dłużej się na niej skupiać. Dżul jest jednostką energii, czyli np. pracy, która jest iloczynem siły ([N}) i drogi ([m]), Jednostkę siły możemy rozpisać przypominając sobie jakiś przykład siły, chociażby najbardziej powszechną siłę ciążenia, która jest iloczynem masy ([kg]) i przyspieszenia ziemskiego ([m/s^2]). Tym sposobem rozpisaliśmy wat na jednostki podstawowe:

Może pomyślisz „Ale co to za ułatwienie, że zamiast rozpisania jednostek muszę pamiętać wzory?”. Masz rację, że do tego sposobu potrzebujesz wzorów, ale na przykład na maturze, każdy posiada kartę wzorów, a jednostek nie. Na konkursach i olimpiadach czasem mogą być karty wzorów, czasem nie, ale z tych formuł korzystamy przy rozwiązywaniu zadań, a o jednostkach zapominamy, więc może dla niektórych wzory są czymś co wryło się już w pamięć i mimo wszystko ten sposób im pomoże. Mam taką szczerą nadzieję!

Przedrostki SI

Przedrostki również mogą sprawiać czasem kłopoty. Jak się nie pogubić w tych wszystkich mili, kilo, mega itp. i nie zgubić przy tym żadnego zera? Najłatwiej każdy przedrostek przedstawiać w postaci potęgi dziesiątki. Pamiętajcie, żeby zawsze przy obliczeniach sprowadzać podstawiane wielkości do podstawowych, bo wynik wyjdzie całkowicie inny, gdy będziecie liczyć np. w metrach zamiast w kilometrach!

Załóżmy, że nasz ostateczny wynik w zadaniu, po podstawieniu danych, wygląda następująco:

Obliczenia w tej postaci byłyby problematyczne. Ale jeśli za każdy przedrostek podstawimy potęgę dziesięciu jaką przedstawia:

PrzedrostkiSymbolWielkość
GigaG109
MegaM106
Kilok103
Centyc10
Mili m10-3
Mikro\mu10-6
Nanon10-9
Tabela przedrostków

To otrzymamy:

Przedrostki przy zamianie jednostek

W ten sposób nigdy nie pomylisz się przy skracaniu przedrostków podczas zamiany jednostek! To, o czym należy tu pamiętać to, że gdy podnosimy daną wartość do pewnej potęgi to musimy się upewnić, że najpierw zamieniliśmy przedrostek na potęgę liczby 10, a dopiero później wykonaliśmy potęgowanie. W końcu jest ogromna różnica, między końcowym wynikiem 1000, a 1 000 000!

Analiza wymiarowa

Sprawdzanie poprawności wzoru

Analiza wymiarowa jest bardzo ważnym narzędziem pozwalającym nam sprawdzić czy wzór, który wyprowadziliśmy jest poprawny. Niejednokrotnie zadanie zmusza nas do wielokrotnych i żmudnych przekształceń. Podczas nich łatwo jest przeoczyć jedną zmienną, pominąć przy przepisywaniu lub zgubić potęgę. Jest to błąd bardzo łatwy do zrobienia, a jednocześnie niszczący całkowicie wynik końcowy. Można go szybko skorygować sprawdzając zgodność jednostek, czyli czy wynik ma taką jednostkę jak spodziewana wielkość. W ten sposób łatwo odnaleźć zagubioną zmienną. Taką analizę przeprowadzamy poprzez sprawdzenie, czy lewa strona równania jest równa prawej.

Weźmy bardzo prosty przykład, załóżmy, że po przekształceniach komuś wyszła zależność:

sprawdzane poprawności wzoru

gdzie: s – droga, v – prędkość, t – czas

Na pierwszy rzut oka widać, że podany wzór jest nieprawidłowy, ale można na nim w prosty sposób pokazać jak przeprowadzić analizę wymiarową.

Spodziewana jednostka po lewej stronie równania to metry (jednostka odległości):

Zamiany jednostek: sprawdzanie poprawności wzoru

Natomiast prawa strona równania:

Zamiany jednostek: sprawdzanie poprawności wzoru

Lewa strona nie równa się prawej

Zamiany jednostek: sprawdzanie poprawności wzoru

Widzimy, że błędnie nasza jednostka spodziewana jest przemnożona dodatkowo przez sekundę. Zatem w równaniu podstawowym druga potęga czasu jest zbędna.

Przy analizie jednostek należy jednak pamiętać o bardzo ważnej kwestii. Choć za jej pomocą możemy wyeliminować błędy, wiedząc, że jeśli występuję niezgodność jednostek to musi gdzieś być błąd, to zgodność jednostek nie gwarantuje poprawności równania!

Wykorzystanie jednostek do wyprowadzania wzorów

Jednostki mogą być również przydatne do wyprowadzania wzorów. Jeśli wiemy, że dana wielkość może zależeć od kilku zmiennych, to za pomocą jednostek możemy wyznaczyć od których i do jakiej potęgi. Pokażę to na przykładzie okresu drgań wahadła matematycznego.

Sprawdzimy ,w jaki sposób okres drgań wahadła zależy od jego masy, długości wahadła oraz przyspieszenia ziemskiego.

Lewa strona będzie oczywiście równa sekundom, ponieważ jest to jednostka okresu drgań.

Metody zamiany jednostek: wyprowadzanie wzorów

Natomiast prawą stronę rozpiszmy jako iloczyn nieznanych potęg każdej z wyżej wymienionych zmiennych. ( Dodatkowo mnożymy całość przez stałą k)

Metody zamiany jednostek: wyprowadzanie wzorów

Patrząc na jednostki:

Metody zamiany jednostek: wyprowadzanie wzorów

Teraz należy dobrać takie wartości x, y, z, żeby lewa strona była równa prawej, a więc:

Metody zamiany jednostek: wyprowadzanie wzorów

Dzięki temu możemy zapisać ostateczny wzór na okres drgań wahadła matematyczego:

Metody zamiany jednostek: wyprowadzanie wzorów

Właśnie udowodniliśmy, że okres drgań nie zależy od masy wahadła!

W ten sposób możesz wyprowadzić wiele innych wzorów lub po prostu upewnić się, czy dobrze pamiętasz wszystkie potęgi.

Metody zamiany jednostek z Fizyka Olimpijską

Teraz, gdy rozumiesz już w jaki sposób wykorzystywać analizę wymiarową, znacznie łatwiej będzie Ci sprawdzić, czy poprawnie wykonałeś zadanie! 😀 Jeśli szukasz pomocy przy przygotowaniu do matury, konkursu, olimpiady lub zaliczenia na studiach, z chęcią się jej podejmiemy! Zapraszamy Cię do korzystania z udostępnianych przez nas materiałów, które powstają po to, aby ułatwić Ci naukę, a także do umówienia się z nami na prywatne korepetycje z fizyki online. Możemy na nich zarówno wytłumaczyć Ci zadania, z którymi masz problem, jak i swobodnie rozmawiać o pasjonujących Nas fizycznych zagadnieniach i wspólnie zagłębiać się w fizyczne tajemnice.

Bardzo docenię informację zwrotną. Jeśli uważasz, że w artykule możemy coś dodać lub zmienić, daj proszę znać w komentarzu. Jeśli artykuł okazał się dla Ciebie przydatny możesz też zostawić jakiś ślad po sobie. Będzie to bardzo motywujące do dalszego dzielenia się wiedzą 🙂

Autorka Artykułu:

Bibliografia:

  1. Podstawy fizyki tom.1, Halliday Resnick, Walker, wydawnictwo „PWN”, 2015
  2. Basic Quantites and Their Dimension, 2022
0 0 votes
Article Rating
Subscribe
Powiadom o
guest
0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments