Matura z Fizyki 2024 – rozwiązania zadań

Rozwiązanie zadania 1 – Siła oporu powietrza

Treść zadania:

Kropla wody oderwała się od dachu budynku w chwili t_A i następnie opadała pionowo w powietrzu. Na poniższym wykresie przedstawiono zależność wartości v prędkości kropli od czasu t od chwili t_A = 0 s do chwili t_F = 4 s, w której kropla uderzyła o podłoże.

Na wykresie oznaczono wybrane punkty: A, B, C, D, E, F . Ruch kropli opisujemy w układzie odniesienia związanym z ziemią i zakładamy, że jest to układ inercjalny.

Do analizy zagadnienia przyjmij uproszczony model zjawiska, w którym:

• podczas opadania kropli działają na nią dwie siły: siła oporu powietrza F_o oraz siła grawitacji F_g (pomijamy siłę wyporu aerostatycznego)
• kropla jest kulą o promieniu R , a jej masa się nie zmienia
• wartość siły oporu działającej na kroplę wyraża się wzorem:
  F_o = k \rho_p S v^2
  gdzie k jest pewnym współczynnikiem, \rho_p jest gęstością powietrza, S jest polem przekroju poprzecznego przez środek kropli, v jest wartością prędkości kropli
• ruch kropli od chwili t_D traktujemy jako jednostajny prostoliniowy, czyli przyjmij, że część DF wykresu jest poziomym odcinkiem.

Treść zadania 1.1

Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C i jej uzasadnienie 1., 2. albo 3. Od chwili t_A do chwili t_D wartość przyspieszenia kropli

A	się zwiększa	ponieważ wartość siły wypadkowej działającej w tym czasie na kroplę	1	się zwiększa
B	się zmniejsza		2	się zmniejsza
C	pozostaje stała		3	pozostaje stała

Rozwiązanie zadania 1.1

Prędkość kropli rośnie coraz wolniej, co oznacza, że jej przyspieszenie maleje. Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona, przyspieszenie jest proporcjonalne do siły wypadkowej F_w = ma . Zatem, gdy przyspieszenie maleje, siła wypadkowa również musi maleć. Zatem prawidłowa odpowiedź to B2.

Treść zadania 1.2

Punkt K na diagramach 1.–2. reprezentuje kroplę. Długość boku kratki na każdym diagramie odpowiada umownej jednostce siły. Na diagramach 1.–2. narysowano siłę grawitacji działającą na kroplę, natomiast nie narysowano siły oporu F_o .

Na diagramie 1. narysuj i oznacz siłę oporu \vec{F}{oE} przyłożoną w punkcie K , działającą na kroplę w chwili t_E = 3,6 s. Na diagramie 2. narysuj i oznacz siłę oporu \vec{F}{oB} przyłożoną w punkcie K , działającą na kroplę w chwili t_B = 0,4 s. Zachowaj odpowiednie kierunki, zwroty oraz dokładne długości wektorów, odpowiadające wartościom tych sił. Wykorzystaj fakt, że wartość siły oporu jest wprost proporcjonalna do kwadratu wartości prędkości kropli: F_o \propto v^2 .

Rozwiązanie zadania 1.3

Siła wypadkowa działająca na kroplę to różnica między siłą grawitacji a siłą oporu, ponieważ interesuje nas moment, gdy prędkość kropli jest stała.

Przy stałej prędkości kropli przyspieszenie wynosi 0, co oznacza, że siła wypadkowa również wynosi 0 (zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona).

Wnioskujemy z tego, że siła grawitacji równa się sile oporu:

Korzystając z wzoru na siłę grawitacji, siłę oporu, objętość kuli oraz powierzchnię przekroju poprzecznego S = \pi R^2 , otrzymujemy wyrażenie prowadzące do prędkości kropli:

Otrzymaną prędkość nazywamy prędkością terminalną, czyli prędkością graniczną, jaką osiąga ciało spadające w polu grawitacyjnym i atmosferze. Na przykład, prędkość terminalna człowieka wynosi około 60 \frac{m}{s}, a prędkość terminalna kropli deszczu to 9 \frac{m}{s}.

Podsumowanie:

Matura z fizyki w 2024 roku tradycyjnie rozpoczęła się od kinematyki i dynamiki. To zadanie jest podobne do wielu innych, które pojawiały się na wcześniejszych maturach z fizyki.

Rozwiązanie zadania 2 – Ciągnięty walec

Treść zadania:

Jednorodny walec o masie m = 10 \, \text{kg} i promieniu R był ciągnięty siłą o wartości F = 30 \, \text{N} po płaskiej poziomej powierzchni. Siła \vec{F} była przyłożona poziomo do uchwytu i prostopadle do osi obrotu walca (zobacz rysunki 1.–3.).

Do analizy zagadnienia przyjmij model zjawiska, w którym:

• walec toczył się bez poślizgu
• w kierunku poziomym na walec działały tylko: stała siła tarcia statycznego \vec{T} oraz siła \vec{F}
• siła tarcia \vec{T} między walcem a powierzchnią nie osiągnęła wartości maksymalnej
• pomijamy inne (tzn. oprócz tarcia statycznego) opory ruchu
• moment bezwładności walca względem jego osi obrotu – będącej osią symetrii walca – wyraża się wzorem: I_0 = \frac{1}{2} m R^2
• ruch walca rozpatrujemy w inercjalnym układzie odniesienia związanym z ziemią, w jednorodnym, ziemskim polu grawitacyjnym
• pomijamy masę osi obrotu walca i masę jej uchwytu.

Treść zadania 2.1

Całkowitą energię kinetyczną walca w pewnej chwili t ruchu oznaczymy jako E_{\text{kin calk}} , a energię kinetyczną ruchu postępowego walca w tej samej chwili t oznaczymy jako E_{\text{kin post}} .

Oblicz iloraz \frac{E_{\text{kin post}}}{E_{\text{kin calk}}} . Zapisz obliczenia. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego.

Rozwiązanie zadania 2.1

Całkowita energia kinetyczna walca to suma energii kinetycznej ruchu postępowego i energii kinetycznej ruchu obrotowego.

Energia kinetyczna ruchu postępowego:

Energia kinetyczna ruchu obrotowego:

Przy ruchu bez poślizgu zachodzi relacja między prędkością liniową a kątową:

Podstawiając tę relację do wzoru na energię kinetyczną ruchu obrotowego:

Ostatecznie całkowita energia kinetyczna wynosi:

Stosunek energii kinetycznej ruchu postępowego do całkowitej energii kinetycznej to:

Treść zadania 2.2

Oblicz wartość przyspieszenia (liniowego) środka masy walca. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie zadania 2.2

Na walec działają dwie przeciwnie skierowane siły: siła ( F ) (wymuszająca ruch) oraz siła ( T ) (tarcia statycznego). Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona mamy:

Rozważając obrót walca wokół jego środka masy, jedynie siła ( T ) powoduje powstawanie momentu siły. Zgodnie z zasadą dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego możemy zapisać:

Korzystając z warunków braku poślizgu (punkt styku walca z podłożem nie ślizga się, więc obserwujemy tarcie statyczne), możemy zapisać:

Łącząc te trzy warunki, otrzymujemy układ równań:

Z dolnego równania eliminujemy przyspieszenie kątowe:

Następnie, z drugiego równania wyznaczamy siłę tarcia i eliminujemy ją z układu równań, otrzymując jedno równanie z jedną niewiadomą – naszym poszukiwanym przyspieszeniem liniowym:

Podstawiając za moment bezwładności ( I = \frac{1}{2} m R^2 ) i wykonując kilka przekształceń algebraicznych, otrzymujemy ostateczny wynik:

Rozwiązanie zadania 3 – Sprężyna

Treść zadania

Ciężarek o masie m = 100,0 \, \text{g} jest zawieszony na sprężynie i wykonuje drgania harmoniczne w kierunku pionowym, w jednorodnym, ziemskim polu grawitacyjnym.

Przyjmujemy, że ciężarek drga wzdłuż osi y skierowanej pionowo w górę. Na poniższym wykresie przedstawiono zależność współrzędnej prędkości v_y ciężarka od czasu t . Dodatnia wartość współrzędnej prędkości v_y oznacza, że zwrot wektora prędkości ciężarka jest w górę, a ujemna wartość – że zwrot wektora prędkości jest w dół. Prędkość ciężarka określamy w układzie odniesienia związanym z ziemią.

Przyjmij uproszczony model zjawiska, w którym:

• na ciężarek działają tylko siła sprężystości F_s sprężyny i siła grawitacji F_g
• wartość siły sprężystości, z jaką sprężyna działa na ciężarek, jest wprost proporcjonalna do wydłużenia sprężyny ponad jej długość swobodną (gdy jest nierozciągnięta)
• układ odniesienia związany z ziemią traktujemy jako układ inercjalny
• pomijamy opory ruchu
• pomijamy masę sprężyny
• przyspieszenie grawitacyjne ziemskie ma wartość g = 9,81 \, \text{m/s}^2 .

Treść zadnia 3.1

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

1.	W chwili t = 0,2 \, \text{s} siły działające na ciężarek się równoważą.	P	F
2.	Energia kinetyczna ciężarka w chwili t = 0,1 \, \text{s} jest równa energii kinetycznej ciężarka w chwili t = 0,3 \, \text{s} .	P	F
3.	Wartość przyspieszenia ciężarka w chwili t = 0,4 \, \text{s} jest większa od wartości przyspieszenia ciężarka w chwili t = 0,5 \, \text{s} .	P	F

Rozwiązanie zadania 3.1

Stwierdzenie 1:

W chwili t = 0,2 s ciężarek ma zerową prędkość, co oznacza, że znajduje się w położeniu maksymalnego wychylenia. W tym położeniu działa na ciężarek maksymalna możliwa siła, ponieważ siła w ruchu harmonicznym jest proporcjonalna do wychylenia. Oznacza to, że stwierdzenie jest fałszywe.

Stwierdzenie 2:

W chwilach t = 0,1 s oraz t = 0,3 s wartości prędkości ciężarka są identyczne, co oznacza, że energia kinetyczna również jest identyczna. Oznacza to, że stwierdzenie jest prawdziwe.

Stwierdzenie 3:

W chwili t = 0,4 s ciężarek ma zerową prędkość, co oznacza, że znajduje się w punkcie maksymalnego wychylenia. W punkcie maksymalnego wychylenia ciężarek ma największe możliwe przyspieszenie.

W chwili t = 0,5 s ciężarek osiąga swoją maksymalną prędkość, co oznacza, że przechodzi przez położenie równowagi. W położeniu równowagi siły działające na ciężarek równoważą się, a jego przyspieszenie wynosi 0. Oznacza to, że wartość przyspieszenia w chwili t = 0,4 s jest większa niż w chwili t = 0,5 s.

Zatem rozwiązaniem zadania jest PFF.

Treść zadania 3.2

Siły działające na ciężarek się równoważą, gdy ciężarek znajduje się w punkcie o współrzędnej y = 0 , natomiast najwyższe i najniższe położenia ciężarka znajdują się – odpowiednio – w punktach o współrzędnych: y = A oraz y = -A . W pewnej chwili ruchu drgającego ciężarek znalazł się w punkcie P (zobacz schematyczny rysunek poniżej).

Rozwiązanie zadania 3.2

Na siłę wypadkową składają się dwie siły: siła sprężystości (skierowana ku górze) oraz siła grawitacji (skierowana ku dołowi).

Siła wypadkowa w ruchu harmonicznym zawsze jest skierowana ku położeniu równowagi. Oznacza to, że suma wszystkich sił powinna być skierowana ku górze, co oznacza, że siła sprężystości musi przeważać nad siłą grawitacji:

Wektory sił naniesione na rysunek powinny zatem wyglądać odpowiednio.

Treść zadania 3.3

Oblicz wartość siły sprężystości działającej na ciężarek w chwili, gdy znajduje się on w najniższym położeniu podczas ruchu drgającego. Zapisz obliczenia.

Z wykresu możemy odczytać, że okres drgań wynosi T = 0.4 \text{s} . Ponadto, maksymalna wartość prędkości osiąganej przez ciężarek to V_{\text{max}} = 0.6 \frac{\text{m}}{\text{s}} .

Wielkością, której szukamy, jest F_{\text{max}} , czyli maksymalna wartość siły sprężystości. W ruchu harmonicznym siłę wypadkową możemy zapisać jako:

W naszym układzie, siła wypadkowa jest równa różnicy siły sprężystości oraz siły grawitacji:

W rozważanej sytuacji wychylenie z położenia równowagi jest równe amplitudzie x = A .

Łącząc wszystkie fakty, maksymalną wartość siły sprężystości możemy zapisać jako:

Masa m oraz przyspieszenie grawitacyjne g są podane w treści zadania, więc pozostaje nam wyznaczyć współczynnik sprężystości k oraz amplitudę A . Możemy te wartości wyznaczyć z odczytanych z wykresu okresu T oraz prędkości maksymalnej V_{\text{max}} .

Okres możemy powiązać z częstością kątową:

Prędkość maksymalna może być powiązana z amplitudą za pomocą wyrażenia:

Możemy to otrzymać z zasady zachowania energii w ruchu harmonicznym lub licząc pochodną funkcji położenia od czasu w ruchu harmonicznym.

Łączymy powyższe wzory:

Podstawiając wartości:

Zatem maksymalna wartość siły sprężystości wynosi 2.865 \text{N} .

Podsumowanie

To zadanie, mimo pozornie prostej tematyki, okazało się całkiem podchwytliwe.

W zadaniu 3.1 autorzy próbowali nas złapać w pułapkę, przedstawiając wykres prędkości od czasu zamiast bardziej standardowego wykresu położenia od czasu. Gdybyśmy automatycznie spojrzeli na wykres i zapomnieli sprawdzić wartość na osi y , moglibyśmy pomyśleć, że górka oznacza położenie maksymalnego wychylenia, a przejście przez oś x oznacza przejście przez położenie równowagi. Takie myślenie mogłoby kosztować nas trzy procent punktów na maturze.

Dodatkowo, zadanie 3.3 zostało przedstawione w taki sposób, że łatwo było zapomnieć o sile grawitacji, która stanowi niemal 50% wyniku. Rozwiązanie tego zadania bez uwzględnienia siły grawitacji dałoby nam skromne dwa punkty, co prowadziłoby do straty kolejnych trzech procent punktów na maturze.

Rozwiązanie zadania 4 – Ambulans Dopplera

Treść zadania 4

Ambulans z włączoną syreną dźwiękową jedzie wzdłuż prostego odcinka drogi. Przez pewien czas porusza się wzdłuż prostej pomiędzy obserwatorami B oraz A , którzy stoją przy drodze (zobacz rysunek poniżej). Prędkość ambulansu oznaczmy jako \vec{v} .

Do obserwatora A , do którego zbliża się ambulans, dociera dźwięk o długości fali \lambda_A . Do obserwatora B , od którego oddala się ambulans, dociera dźwięk o długości fali \lambda_B .

Przyjmij model zjawiska, w którym częstotliwość dźwięku wytwarzanego przez głośnik syreny ambulansu (źródło dźwięku) była stała i wynosiła f_0 (tzn. membrana głośnika syreny drgała z częstotliwością f_0 ). Pomiń inne źródła dźwięku.

Treść zadania 4.1

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

1	Obs B słyszy dźwięk syreny o częstotliwości mniejszej od f_0 .	P	F
2	Gdy ambulans oddala się od obserwatora B i jednocześnie hamuje, to B słyszy dźwięk o rosnącej częstotliwości.	P	F
3	Gdy ambulans oddala się od obserwatora B i jednocześnie przyspiesza, to B słyszy dźwięk o malejącej częstotliwości.	P	F

Rozwiązanie zadania 4.1

Rozpocznijmy rozwiązanie tego zadania od rysunku, na którym narysujemy kilka frontów falowych emitowanych w różnych momentach. Miejsce, w którym znajdował się głośnik ambulansu w każdym z tych momentów, jest oznaczone fioletową kropką. Jest to środek okręgu będącego frontem falowym.

Stwierdzenie 1:

Jak widzimy na powyższym rysunku, do obserwatora B kolejne fronty falowe emitowane przez oddalający się ambulans będą docierały rzadziej (z mniejszą częstotliwością) niż w przypadku, gdyby ambulans spoczywał.

Oznacza to, że f_0 > f_B , czyli stwierdzenie 1 jest prawdziwe.

Stwierdzenie 2:

Wzór na efekt Dopplera (który możemy znaleźć w karcie wzorów) to:

Gdzie f_B oznacza częstotliwość odbieraną przez obserwatora B, f_0 częstotliwość emitowaną przez ambulans, c prędkość dźwięku, v prędkość ambulansu.

Prędkość źródła dźwięku w mianowniku, v , występuje z plusem, ponieważ źródło oddala się od obserwatora, co zgodnie z naszym rysunkiem prowadzi do zmniejszenia odbieranej częstotliwości. Jeśli ambulans zacznie zwalniać (prędkość v zacznie maleć), to mianownik w zapisanym wyrażeniu będzie maleć, a co za tym idzie, ułamek będzie rosnąć. Czyli zwalniająca karetka oznacza rosnącą częstotliwość f_B odbieraną przez obserwatora B.

Oznacza to, że stwierdzenie 2 jest prawdziwe.

Stwierdzenie 3:

Omawiany tutaj przypadek jest dokładną odwrotnością przypadku ze stwierdzenia 2. Prędkość v ambulansu rośnie, co za tym idzie, mianownik zapisanego wyrażenia na f_B rośnie, a tym samym wartość f_B maleje.

Oznacza to, że stwierdzenie 3 jest prawdziwe.

Podsumowanie:

Zatem odpowiedzią do tego zadania jest PPP.

Treść zadania 4.2

Przez pewien czas ambulans poruszał się ruchem jednostajnym prostoliniowym pomiędzy obserwatorami B oraz A . Wtedy iloraz długości fal dźwięku rejestrowanego przez tych obserwatorów wynosił:

\frac{\lambda_B}{\lambda_A} = 1,2

Prędkość dźwięku w powietrzu ma wartość v_d = 340 \, \text{m/s} .

Oblicz v – wartość prędkości ambulansu. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie zadania 4.2

Obliczanie prędkości ambulansu na podstawie efektu Dopplera

Zgodnie ze wzorem użytym w zadaniu 4.1, częstotliwość fali odbieranej przez obserwatora B wyrażona jest jako:

Analogiczny wzór pozwala zapisać częstotliwość fali odbieranej przez obserwatora A. Do obserwatora A ambulans się zbliża, co oznacza, że odbierana częstotliwość rośnie:

Ponieważ w treści zadania dostaliśmy informację na temat długości fali, skorzystajmy ze wzoru na prędkość fali c = f \lambda , aby przekształcić częstotliwości odbierane na odbierane długości fali:

Dzieląc równania stronami otrzymujemy:

Po uproszczeniu c po lewej stronie oraz c i f_o po prawej stronie oraz zamianie ułamków piętrowych na normalne ułamki, otrzymujemy:

Teraz już tylko kilka przekształceń algebraicznych dzieli nas od wyrażenia na prędkość ambulansu:

Podstawiając stosunek długości fali z treści zadania, otrzymujemy:

Zakładając, że prędkość dźwięku c = 343 \frac{\text{m}}{\text{s}} , mamy:

Czyli ambulans porusza się z prędkością około 31 \frac{\text{m}}{\text{s}} , co odpowiada 111 \frac{\text{km}}{\text{h}} .

Rozwiązanie zadania 5 – Układ ziemia – księżyc

Treść zadania

Ziemia i Księżyc poruszają się dookoła punktu S – ich wspólnego środka masy – po orbitach eliptycznych, które są zbliżone do orbit kołowych.

Przyjmij następujące warunki zadania i oznaczenia:

• środek Ziemi oznaczmy jako punkt Z , środek Księżyca oznaczmy jako punkt K , a odcinek łączący środek Ziemi ze środkiem Księżyca oznaczmy jako ZK
• odległość |ZK| pomiędzy środkiem Ziemi a środkiem Księżyca się zmienia
• stosunek masy Ziemi do masy Księżyca wynosi \frac{M_Z}{M_K} \approx 81,28
• Ziemia i Księżyc są kulami, każda ze sferycznie symetrycznym rozkładem masy.

Treść zadania 5.1

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

1.	Wartość siły grawitacji, którą Księżyc działa na Ziemię, jest równa wartości siły grawitacji, którą Ziemia działa na Księżyc.	P	F
2.	Punkt S dzieli odcinek ZK w następującym stosunku: \frac{|ZS|}{|SK|} \approx \frac{1}{81,28} .	P	F
3.	Wartość siły oddziaływania grawitacyjnego Ziemi na Księżyc jest stała w czasie.	P	F

Rozwiązanie zadania 5.1

Stwierdzenie 1:

To zdanie jest po prostu zastosowaniem trzeciej zasady dynamiki Newtona: „jeżeli ciało A działa na ciało B siłą F , to ciało B działa na ciało A siłą o takiej samej wartości, lecz o przeciwnym zwrocie”. To zdanie oczywiście jest prawdziwe.

Stwierdzenie 2:

To zadanie rozpoczniemy od rysunku. Rysunek przedstawia Ziemię, Księżyc oraz środek masy tego układu (punkt oznaczony na niebiesko).

Odległość środka masy od środka Ziemi możemy zapisać zgodnie z definicją środka masy jako:

Oczywiście odległość środka Ziemi od środka Ziemi jest równa zero |ZZ| = 0 , zatem wzór przekształca się do postaci:

Analogiczne rozumowanie możemy przeprowadzić, aby wyznaczyć odległość środka masy od środka Księżyca:

Otrzymujemy zatem układ dwóch równań:

Dzieląc dolne równanie przez górne, otrzymujemy poszukiwany przez nas stosunek:

Zatem stwierdzenie 2 jest prawdziwe.

Stwierdzenie 3:

W treści zadania wyraźnie stwierdzono, że „odległość |ZK| pomiędzy środkiem Ziemi a środkiem Księżyca się zmienia”. Siła oddziaływania grawitacyjnego zgodnie ze wzorem Newtona:

zależy od odległości między Ziemią a Księżycem. Zatem, jeżeli ta odległość się zmienia, to siła grawitacji również się zmienia. Stwierdzenie 3 jest fałszywe.

Podsumowanie

Prawidłowym rozwiązaniem zadania jest PPF

Treść zadania 5.2

Na odcinku ZK – łączącym środek Ziemi ze środkiem Księżyca – znajduje się taki punkt P , w którym wartość wypadkowej siły grawitacji pochodzącej od Ziemi i od Księżyca, działającej na punkt materialny znajdujący się w punkcie P , jest równa zero.

Oblicz odległość punktu P od środka Ziemi, gdy odległość między środkiem Ziemi a środkiem Księżyca wynosi |ZK| = 384\,400 \, \text{km} . Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie zadania 5.2

Analiza siły grawitacji w punkcie równowagi

To zadanie wymaga rysunku podobnego do tego, który zrobiliśmy w zadaniu 4.1.

Na rysunku oznaczymy Ziemię (Z), Księżyc (K) oraz punkt (P), w którym siła grawitacji Ziemi i Księżyca się równoważą.

Wyobraźmy sobie, że w punkcie P umieszczamy punkt o masie m . Zgodnie z założeniem, siła oddziaływania tej masy z Ziemią i Księżycem powinna być sobie równa:

Każdą z tych sił możemy zapisać za pomocą równania Newtona F_g = G \frac{m_1 m_2}{r^2} :

Po skróceniu wspólnych elementów i usunięciu ułamków otrzymujemy:

Jest to jedno równanie z dwiema niewiadomymi |PK| i |PZ| . Możemy jednak zapisać jeszcze jedno równanie, które powiąże ze sobą te dwie niewiadome:

Skorzystajmy z tego równania, aby wyeliminować |PK| :

Podstawiając do wcześniejszego równania:

Dzieląc przez M_z i pierwiastkując obie strony, dostajemy:

Stąd wyznaczamy |PZ| :

Stosunek mas Księżyca do masy Ziemi znamy z treści zadania:

Podstawiając odległość |KZ| = 384,400 \text{ km} :

Zatem odległość punktu równowagi od Ziemi wynosi 345,960 km.

Punkty Lagrange’a

Punkty, w których równoważy się siła grawitacji, nazywają się punktami Lagrange’a. W układzie dwóch ciał występuje tylko jeden taki punkt – właśnie go znaleźliśmy. W układzie trzech ciał, takim jak układ Ziemia-Słońce-Księżyc, znajduje się pięć takich punktów. Znalezienie ich wszystkich wcale nie jest prostym wyzwaniem 🙂

Rozwiązanie zadania 6 – Trzy ładunki

Treść zadania

Trzy punktowe, ujemne ładunki elektryczne: Q_1 , Q_2 i Q_3 umieszczono nieruchomo w próżni w wierzchołkach kwadratu (zobacz rysunek). Długość boku tego kwadratu jest równa a . Wartości ładunków Q_1 , Q_2 i Q_3 wyrażają się poprzez pewną wartość q następująco:

Q_1 = -2q
Q_2 = -q

Q_3 = -2q

gdzie q > 0

Punkt przecięcia przekątnych kwadratu oznaczmy jako S .

Na powyższym rysunku narysuj i podpisz \vec{E}_S – wektor wypadkowego natężenia pola elektrycznego w punkcie S . Zachowaj odpowiedni kierunek i zwrot tego wektora.

Zapisz wzór pozwalający wyznaczyć E_S – wartość tego wektora – w zależności tylko od a , od q oraz od odpowiedniej stałej fizycznej.

Rozwiązanie zadania

Natężenie pola elektrycznego pochodzącego od ładunku punktowego zapisujemy jako:

Gdzie q to wartość ładunku, a r to odległość między ładunkiem a punktem, w którym mierzymy pole elektryczne. Kierunek wektora natężenia pola elektrycznego to „od plusa do minusa”.

Zwróćmy uwagę na kilka istotnych faktów dotyczących naszego układu:

1. Odległość między każdym z ładunków a punktem S jest taka sama i jest równa połowie przekątnej kwadratu – d .
2. Ładunki Q_1 i Q_3 mają taką samą wartość.
3. Wszystkie ładunki są ujemne, zatem wektory natężenia pola elektrycznego będą skierowane do ładunków.
4. Wektory natężenia pola elektrycznego są addytywne:

Fakty 1 i 2 pozwalają nam stwierdzić, że w punkcie S wektory natężenia pola elektrycznego pochodzące od ładunków Q_1 i Q_3 będą się znosiły:

Oznacza to, że całkowite pole elektryczne w punkcie S jest równe polu elektrycznemu tworzonemu przez ładunek drugi:

I będzie miało wartość:

Gdzie d = \frac{a \sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}} , czyli:

Zatem pole elektryczne w punkcie S będzie zwrócone ku ładunkowi Q_2 i będzie miało wartość 2k \frac{q}{a^2} .

Treść zadania

Do źródła stałego napięcia U podłączono trzy identyczne oporniki: R_1 , R_2 , R_3 oraz amperomierz A – w taki sposób, jak pokazano na poniższym schemacie obwodu elektrycznego (zobacz rysunek 1.). Opór każdego opornika jest stały i równy R :

R_1 = R_2 = R_3 = R

W pewnym momencie opornik R_1 uległ uszkodzeniu, a obwód w tym miejscu został przerwany (zobacz rysunek 2.).

Napicie U zasilające obwód jest takie samo w obu opisanych powyżej sytuacjach. Opór wewnętrzny amperomierza A i źródła napięcia oraz opór przewodów pomijamy

Treść zadania 7.1

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. W obwodzie elektrycznym zilustrowanym na rysunku 1. (tzn. w sytuacji początkowej)

1.	natężenie prądu płynącego przez opornik R_1 jest równe natężeniu prądu płynącego przez amperomierz A .	P	F
2.	napięcie elektryczne na oporniku R_1 jest równe napięciu elektrycznemu na oporniku R_2 .	P	F
3.	natężenie prądu płynącego przez opornik R_1 jest mniejsze od natężenia prądu płynącego przez opornik R_3 .	P	F

Rozwiązanie zadania 7.1

Stwierdzenie 1:

Zgodnie z pierwszym prawem Kirchhoffa, natężenie prądu wchodzącego do węzła x musi być równe sumie natężeń prądów wychodzących z tego węzła:

Ponieważ I_3 \neq 0 , to I_{A1} musi być większe od I_2 . Zatem stwierdzenie to jest nieprawdziwe.

Stwierdzenie 2:

Spadek napięcia na oporniku jest równy iloczynowi wartości oporu opornika i natężenia prądu przepływającego przez niego – \Delta U = RI .

Przez oporniki R_1 i R_2 przepływa taki sam prąd I_2 . Ponadto, opory R_1 i R_2 są sobie równe, zatem:

Spadek napięcia na opornikach jest identyczny. Stwierdzenie 2 jest prawdziwe.

Stwierdzenie 3:

Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa, spadek napięcia na oporniku R_3 ( I_3 R_3 ) musi być równy sumie spadków napięć na opornikach R_1 i R_2 ( I_2 (R_1 + R_2) ).

Wykorzystując fakt, że wszystkie oporniki mają równe opory, zapisane wyrażenie upraszcza się do:

Zatem prąd przepływający przez opornik trzeci jest dwa razy większy niż prąd przepływający przez opornik pierwszy. Stwierdzenie 3 jest prawdziwe.

Podsumowanie

Poprawną odpowiedzią jest FPP

Treść zadania 7.2

Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C i jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Moc cieplna wydzielana na oporniku R_3 po przerwaniu obwodu (rysunek 2.), w porównaniu do mocy cieplnej wydzielanej na oporniku R_3 w sytuacji początkowej (rysunek 1.), była

A.	większa,		1.	się nie zmieniło.
B.	mniejsza,	ponieważ napięcie między zaciskami X oraz Y	2.	wzrosło.
C.	taka sama,		3.	zmalało.

Rozwiązanie zadania 7.2

Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa zastosowanym dla oznaczonej na niebiesko pętli, spadek napięcia na oporniku ( R_3 ) jest równy napięciu na baterii. Oznacza to, że spadek napięcia na oporniku ( R_3 ) absolutnie nie zależy od opornika ( R_1 ), ponieważ moc może być zapisana jako:

Widać to wprost, ponieważ moc nie zmieni się niezależnie od zachowania opornika ( R_1 ) (ponieważ zachowanie to nie wpływa na napięcie baterii ani na opór opornika ( R_3 )).

Zatem prawidłową odpowiedzią jest – C1

Treść zadania 7.3

Natężenie prądu, jakie wskazuje amperomierz A przed przerwaniem obwodu (rysunek 1.), oznaczymy jako I_{A1} . Natężenie prądu, jakie wskazuje amperomierz A po przerwaniu obwodu (rysunek 2.), oznaczymy jako I_{A2} .

Oblicz iloraz \frac{I_{A2}}{I_{A1}} . Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie zadania 7.3

Przed uszkodzeniem opornika R_1 :

W węźle x prąd I_{A1} rozdziela się na prądy I_2 oraz I_3 . Zgodnie z pierwszym prawem Kirchhoffa możemy zapisać:

Rozważając spadki napięcia na pętli oznaczonej na niebiesko, widzimy, że na oporniku R_3 musi spadać całe napięcie ze źródła. Zatem:

Ponadto, stosując drugie prawo Kirchhoffa dla pętli zaznaczonej na czerwono, otrzymamy relację:

Z czego wynika:

Otrzymujemy układ równań:

Rozwiążmy powyższy układ równań. Za pomocą dolnego równania pozbywamy się I_3 :

Następnie, górne równanie wykorzystujemy do wyznaczenia I_2 :

Po prostych przekształceniach algebraicznych otrzymujemy:

Po uszkodzeniu opornika R_1 :

Przeprowadzimy rozumowanie analogiczne do poprzedniego przypadku. Tym razem w węźle x natężenie prądu I_{A2} nie rozdziela się. Oznacza to, że cały prąd I_{A2} przepływa przez opornik R_3 .

Zapisując drugie prawo Kirchhoffa dla niebieskiej pętli, otrzymujemy:

Jest to jedyne równanie, którego potrzebujemy:

Poszukiwany stosunek:

Zatem poszukiwany iloraz wynosi \frac{2}{3} .

Rozwiązanie zadania 8 – Silnik cieplny

Treść zadania

Na poniższym wykresie przedstawiono zależność ciśnienia p od objętości V w cyklu przemian termodynamicznych ustalonej masy gazu doskonałego. Te przemiany gazu zachodzą podczas pracy pewnego silnika cieplnego S. Gaz oddaje ciepło do chłodnicy, a pobiera ciepło z grzejnika.

Stany gazu, w których zmienia się rodzaj przemiany termodynamicznej, oznaczono symbolami: G_1, G_2, G_3, G_4 . Wielkości p_1 i V_1 są – odpowiednio – ciśnieniem i objętością gazu w stanie G_1 .

Ciepło molowe tego gazu przy stałej objętości wynosi C_V = \frac{3}{2}R , gdzie R jest stałą gazową.

---

Treść zadania 8.1

W cyklu pracy silnika S gaz oddaje do chłodnicy ciepło równe (co do wartości bezwzględnej):

|Q_{odad}| = 9,5 \cdot p_1V_1

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Ciepło pobrane z grzejnika przez gaz w cyklu pracy silnika S jest równe

A.	|Q_{pob}| = 13,5 \cdot p_1V_1	C.	|Q_{pob}| = 7,5 \cdot p_1V_1
B.	|Q_{pob}| = 11,5 \cdot p_1V_1	D.	|Q_{pob}| = 5,5 \cdot p_1V_1

Wskazówka: Wykorzystaj I zasadę termodynamiki i twierdzenie o obliczaniu pracy z wykresu.

---

Rozwiązanie zadania 8.1

Obliczenie ciepła pobranego przez silnik zgodnie z pierwszą zasadą termodynamiki

Zgodnie z pierwszą zasadą termodynamiki (zasadą zachowania energii) ciepło pobrane |Q_{pob}| jest równe ciepłu oddanemu |Q_{odd}| plus pracy |W| wykonanej przez gaz:

Pracę wykonaną w trakcie jednego cyklu pracy silnika możemy policzyć jako pole powierzchni figury zakreślonej przez ten cykl na wykresie pV . Figura jest prostokątem, więc obliczenie pola będzie proste:

Oznacza to, że ciepło pobrane możemy zapisać jako:

Prawidłową odpowiedzią jest odpowiedź B.

Treść zadania 8.2

Wyprowadź wzór pozwalający wyznaczyć |\Delta U_{41}| – wartość bezwzględną zmiany energii wewnętrznej gazu w przemianie G_4 \rightarrow G_1 – tylko za pomocą wielkości: p_1 i V_1 . Zapisz odpowiednie równania i przekształcenia oraz podaj postać tego wzoru.

Rozwiązanie zadania 8.2

Energia wewnętrzna gazu może być zapisana jako:

Zmiana energii wewnętrznej między stanami G_4 i G_1 to:

W stanie G_4 równanie stanu gazu doskonałego przyjmuje postać:

Natomiast w stanie G_1 :

Wyznaczając temperatury z równań stanu gazu i wstawiając je do wzoru na \Delta U_{41} , otrzymujemy:

Wstawiając ciepło molowe przy stałej objętości c_v podane w treści zadania oraz licząc wartość bezwzględną otrzymanej zmiany energii wewnętrznej, dostajemy:

Rozwiązanie zadania 9 – dwie soczewki

Treść zadania

Układ dwóch soczewek umieszczonych na wspólnej osi optycznej można wykorzystać do zmiany szerokości (średnicy) wiązki światła, biegnącej równolegle do osi optycznej układu. W zadaniach 9.1. i 9.2. przedstawiono różne przykłady takich układów soczewek.

Treść zadania 9.1

Na rysunku 1. przedstawiono bieg wiązki światła przechodzącej przez układ soczewek.

Ten układ składa się z dwóch soczewek skupiających S1 i S2 o ogniskowych odpowiednio f_1 = 15 \, \text{cm} i f_2 = 40 \, \text{cm} . Soczewki są tak ustawione, że prawe ognisko soczewki S1 i lewe ognisko soczewki S2 znajdują się w tym samym punkcie F na osi optycznej O .

Szerokość wiązki światła, która pada na soczewkę S1, jest równa d_1 = 2,25 \, \text{mm} .

Uwaga: Wymiary na rysunku 1. są umowne (rysunek jest poglądowy).

Oblicz d_2 – szerokość wiązki światła, która wychodzi z soczewki S2. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie zadania 9.1

Moglibyśmy rozwiązać to zadanie korzystając z praw optyki geometrycznej. Jednak znacznie prostsze wydaje się skorzystanie z samej geometrii.

Zwróćmy uwagę, że trójkąty tworzone przez promienie skrajne wiązki w obszarze między soczewkami tworzą dwa trójkąty podobne.

Ponieważ trójkąty te są podobne, możemy zapisać relację:

Przekształcamy ją do postaci:

Podstawiając dane z treści zadania, otrzymujemy:

Zatem, szerokość wiązki światła po przejściu przez drugą soczewkę wynosi około 6 mm.

Treść zadania 9.2

Zwiększenie szerokości wiązki światła można uzyskać, jeżeli wykorzysta się układ optyczny złożony z jednej soczewki rozpraszającej R i jednej soczewki skupiającej S.

Na rysunku 2. przedstawiono tylko soczewkę rozpraszającą R o ogniskowej f_R = -15 \, \text{cm} oraz oś optyczną O takiego układu soczewek. Przedstawiono także fragment wiązki światła, biegnącej równolegle do osi optycznej układu i padającej na soczewkę R.

Druga soczewka S w tym układzie jest skupiająca i ma ogniskową f_S = 40 \, \text{cm} . Ta soczewka została umieszczona w takim miejscu na osi optycznej, że wiązka światła, która wychodzi z układu soczewek (przez soczewkę S), jest równoległa do osi optycznej i poszerzona.

Odległość między znacznikami na osi optycznej układu jest równa 5 cm. Na rysunku dodano linie pomocnicze równoległe do osi optycznej.

Na rysunku 2. narysuj soczewkę skupiającą S w takim miejscu, aby wiązka światła, która wychodzi z tej soczewki S, była równoległa do osi optycznej i poszerzona.

Następnie dorysuj dalszy (tzn. od soczewki R do S oraz po przejściu przez S) bieg promieni P1 i P2, które ograniczają wiązkę światła.

Najpierw oznaczmy ogniska soczewki rozpraszającej i narysujmy dalszy bieg promieni po przejściu przez soczewkę rozpraszającą.

Aby ustalić położenie drugiej soczewki, skorzystajmy z faktu, że promienie równoległe do osi optycznej po przejściu przez soczewkę skupiającą przecinają się w jej ognisku. Ponieważ kierunek biegu promieni możemy odwrócić nie zmieniając przy tym trajektorii, odwrotne stwierdzenie jest również prawdziwe: promienie przechodzące przez ognisko, po przejściu przez soczewkę, będą równoległe do osi optycznej.

Oznacza to, że ognisko soczewki skupiającej musi znaleźć się w miejscu, w którym promienie (lub ich przedłużenia) przecinają się. Zatem ogniska soczewek skupiającej i rozpraszającej pokrywają się.

W ten sposób ustalamy położenie soczewek i dalszy bieg promieni po przejściu przez soczewki, zapewniając poprawne ustawienie układu optycznego.

Rozwiązanie zadania 10 – Relatywistyczny elektron

Treść zadania

Elektron został rozpędzony w polu elektrycznym (w próżni) od punktu A do punktu B . Wartość prędkości elektronu w punkcie A była równa zero, a wartość prędkości elektronu w punkcie B była równa v = 2,00 \cdot 10^8 \, \text{m/s} . Przyjmij, że:

• energia spoczynkowa E_0 elektronu jest równa (w zaokrągleniu) E_0 \approx 5,11 \cdot 10^5 \, \text{eV}
• energię całkowitą elektronu w punkcie B oznaczymy jako E_B .

Treść Zadania 10.1

Dokończ zdanie. Wpisz właściwą liczbę w wykropkowane miejsce. Iloraz energii \frac{E_B}{E_0} jest równy (w zaokrągleniu) …………….. .

Rozwiązanie zadania 10.1

Prędkość elektronu po rozpędzeniu wynosi \frac{2}{3} prędkości światła. Oznacza to, że musimy stosować relatywistykę do opisu zachowania elektronu.

Całkowita energia układu może być zapisana jako:

Natomiast energia spoczynkowa to:

Zatem stosunek obu tych energii przyjmie postać:

Ponieważ stosunek \frac{v}{c} = \frac{2}{3} , to stosunek energii wynosi:

Obliczmy to:

Zatem stosunek energii wynosi \frac{E_B}{E_0} = 1.34 .

Treść zadania 10.2

Oblicz napięcie elektryczne U_{AB} między punktami A oraz B . Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie zadania 10.2

Różnica energii elektronu może być zapisana jako:

Ta energia kinetyczna pochodzi od zmiany energii potencjalnej oddziaływania między elektronem a polem elektrycznym, zatem może być równoważnie zapisana jako:

Łącząc oba równania w całość, dostajemy:

Z poprzedniego podpunktu wiemy, że E_B = 1.34 E_0 , zatem:

Podstawiając wartości:

Wykorzystując fakt, że 1 eV = 1 e \cdot 1 V, możemy uprościć jednostki:

Zatem U_{AB} \approx 1.75 \cdot 10^5 \text{ V} .

Podsumowanie:

W tym zadaniu podchwytliwym elementem może być wykorzystanie jednostki eV. 1 eV to energia, jaką uzyska cząstka o ładunku elementarnym 1 e (np. elektron) rozpędzana w polu elektrycznym po przejściu przez napięcie 1 V. Zatem 1 eV może być rozumiany jako 1 e \cdot 1 V, stąd udało nam się zrobić tak ładne skrócenie:

\frac{1 \text{ eV}}{e} = \frac{1 \text{ e} \cdot 1 \text{ V}}{1 \text{ e}} = 1 \text{ V} .

Rozwiązanie zadania 11 – Rozpad beta plus

Treść zadania

Izotop fluoru ^{18}_{9}\text{F} ulega rozpadowi promieniotwórczemu w wyniku przemiany \beta^+ . Podczas rozpadu jądra tego izotopu fluoru powstają: cząstka \beta^+ , jądro pewnego pierwiastka, który oznaczymy jako X, oraz tzw. neutrino elektronowe \nu . Neutrino ma zerowy ładunek elektryczny, a jego masę możemy pominąć.

Masy jąder i cząstek uczestniczących w opisanym rozpadzie \beta^+ , wyrażone w jednostkach atomowych, mają następujące wartości:

m_F = 17{,}99600\ u — masa jądra fluoru ^{18}_{9}\text{F}

m_X = 17{,}99477\ u — masa powstałego jądra

m_{\beta} = 0{,}00055\ u — masa cząstki \beta^+

m_{\nu} = 0{,}00000\ u — masę neutrino pomijamy.

Informacja do zadania 11.1.

Próbka z izotopem ^{18}_{9}\text{F}

jest badana przez licznik promieniowania, który pokazuje całkowitą liczbę rozpadów \beta^+ jąder tego izotopu fluoru po upływie danego czasu (od rozpoczęcia pomiaru). Liczbę jąder izotopu fluoru ^{18}_{9}\text{F}

, znajdujących się w próbce w chwili początkowej, oznaczamy jako N_0 . Łączną liczbę jąder, które uległy temu rozpadowi po upływie czasu t od chwili początkowej t_0 = 0\ \text{min} , oznaczamy jako N_r .

Na wykresie poniżej przedstawiono zależność ilorazu \frac{N_r}{N_0} od czasu t .

Rozwiązanie zadania 11.1

Z definicji, po czasie połowicznego rozpadu połowa cząsteczek ulegnie rozpadowi. Czyli stosunek cząsteczek rozpadniętych do wszystkich cząsteczek wynosić będzie:

Taką wartość na osi y na wykresie możemy zaobserwować dla t = 110 \, \text{min} . Tyle też wynosi poszukiwany czas połowicznego rozpadu.

Treść zadania 11.2

Poniżej przedstawiono schemat rozpadu \beta^+ jądra fluoru ^{18}_{9}\text{F} .

W schemacie rozpadu pominięto cząstkę neutrino.

^{18}_{9}\text{F} \rightarrow \cdots X + \beta^+

gdzie X oznacza jądro pierwiastka …………….

Uzupełnij powyższy schemat tak, aby powstało równanie rozpadu \beta^+ . Wpisz w wykropkowane miejsca w schemacie właściwe liczby: atomową i masową, a pod schematem – symbol (lub nazwę) pierwiastka, którego jądro powstaje w tym rozpadzie.

Rozwiązanie zadania 11.2

Aby rozwiązać to zadanie, musimy określić, jaką liczbę masową oraz atomową ma cząstka beta.

Z liczbą masową nie powinno być problemu, ponieważ masa została podana w treści zadania. Widzimy, że masa cząstki beta jest znacznie mniejsza od masy protonu, co oznacza, że jej liczba masowa wynosi 0 (podobnie jak liczba masowa elektronu).

Liczba atomowa cząstki beta (jej ładunek wyrażony w wielokrotności ładunku elementarnego) również musi być określona. Ponieważ jest to rozpad beta plus, możemy intuicyjnie przypuszczać, że ładunek cząstki beta jest dodatni. W treści zadania nie ma bezpośrednich informacji o ładunku, ale odwołując się do naszej wiedzy na temat rozpadu beta plus, wiemy, że w tym procesie emitowany jest pozyton (czyli antycząstka elektronu), który ma ładunek przeciwny do elektronu, czyli jeden ładunek elementarny dodatni. Zatem liczba atomowa cząstki beta (pozytonu) wynosi 1.

Schemat rozpadu z naniesionymi nowymi informacjami prezentuje się następująco:

Dodatkowo, liczbę masową cząstki X oznaczyliśmy jako A_x , a liczbę atomową jako Z_x .

Na mocy zasady zachowania ładunku suma liczb atomowych po lewej stronie schematu musi równać się sumie liczb atomowych po prawej stronie:

Liczby masowe po lewej i po prawej stronie schematu również muszą się zsumować do tej samej wartości, na mocy zasady zachowania masy (energii):

Poszukiwane jądro składa się z 8 protonów i 10 neutronów. Szybki rzut oka na układ okresowy pierwiastków pozwala zidentyfikować jądro X jako tlen, a w zasadzie izotop tlenu 18: ^{18}_{8}\text{O}

Treść zadania 11.3

Masy jąder i cząstek uczestniczących w opisanym rozpadzie \beta^+ podano we wstępie do zadania 11.

Przyjmij, że jądro fluoru ^{18}_{9}\text{F} przed rozpadem \beta^+ spoczywało, oraz wykorzystaj związek:

1 \text{ u} \cdot c^2 \approx 931,5 \text{ MeV} (c to wartość prędkości światła w próżni)

Oblicz łączną energię kinetyczną produktów rozpadu \beta^+ jądra fluoru ^{18}_{9}\text{F} .
Wynik podaj w MeV, zaokrąglony do dwóch cyfr znaczących. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie zadania 11.3

W trakcie rozpadu część energii spoczynkowej (związanej z masą) wyrażającej się wzorem E_0 = mc^2 zamieniła się na energię kinetyczną. Zmianę energii spoczynkowej możemy zapisać jako:

Podstawiając wartości, mamy:

Zgodnie ze wskazówką jaką otrzymaliśmy w treści zadania, jednostkę 1 \, \text{u} \cdot c^2 możemy zamienić na 931.5 \, \text{MeV} :

Obliczając, otrzymujemy:

Zatem zmiana energii spoczynkowej wynosi około 0.633 \, \text{MeV} . A skoro całą utracona energia spoczynkowa zmienia się na energię kinetyczną to całkowita energia kinetyczna po rozpadzie wynosi 0.633 \, \text{MeV} .