Doświadczenia, Najpopularniejsze, Olimpiada Fizyczna

Jak profesjonalnie liczyć niepewność pomiaru?

Niepewność pomiaru

Doświadczenie w Fizyce pełnią szczególną rolę – mówi się że jest ostatecznym sędzią prawdy. Kiedy dwóch fizyków nie może się zgodzić, wystarczy, że zrobią doświadczenie i już wiadomo, kto miał rację! Właśnie dzięki ostateczności wyniku doświadczenia w fizyce nie ma różnych nurtów jak w innych dziedzinach, takich jak malarstwo czy psychologia. Jednak aby rzeczywiście doświadczenie było niepodważalne musimy wiedzieć jak bardzo możemy ufać  wynikowi pomiaru – i tutaj właśnie na scenę wchodzi niepewność pomiaru (niepewność pomiarowa).

Komukolwiek jednak zdarzyło się przeprowadzać doświadczenie ten wie że obróbka danych pomiarowych może być tak skomplikowana i frustrująca, że nie wiadomo nawet od czego zacząć. Często w ogóle nie wiadomo od czego zacząć? Jaki wzór zastosować do policzenia danej niepewności pomiaru? Z jakiego typu niepewnościami mamy do czynienia? Co ma największy wpływ na niepewność pomiaru końcowego wyniku? Na szczęście, jeśli kiedykolwiek zadawałeś sobie te pytania, mamy dla ciebie dobrą wiadomość! Po przeczytaniu tego artykułu będziesz wiedzieć jak radzić sobie z niepewnościami pomiarowymi like a pro! 🙂

Czym jest pomiar?

Zacznijmy tam gdzie zawsze najlepiej jest zacząć, czyli od początku. Aby ustalić czym jest błąd pomiarowy zdefiniujmy najpierw czym jest sam pomiar w Fizyce.

Pomiar w fizyce to proces określenia wartości jakiejś wielkości fizycznej, takiej jak np. długość, masa, czas, stała plancka etc. Proces pomiaru jest jednak nie idealny, i nie daje nam idealnie dokładnego wyniku.

schemat liczenia niepewności pomiaru

Zawsze zakładamy, że istnieje prawdziwa wartość, którą staramy się zmierzyć, ale ze względu na niedoskonałość pomiaru, nigdy nie otrzymamy jej ze 100% pewnością.


Skoro żaden pomiar nie pozwoli nam poznać rzeczywistej wartości x_0 to czym właściwie jest wynik pomiaru? Wynik pomiaru to przedział w którym najprawdopodobniej znajduje się rzeczywista wartość mierzonej wielkości. Zwykle przyjmujemy taki przedział w którym znajduje się 67% procent wyników pomiarów.

schemat liczenia niepewności pomiaru
Rys. 2 przedstawia 9 otrzymanych wartości pomiaru {6.8, 5.0, 6.3, 6.8, 6.2, 5.4, 6.0, 6.5, 6.9} oznaczonych niebieskimi kreskami. Przedział będący wynikiem pomiaru zaznaczony jest pomarańczową liną, jego środek oznaczony jest na zielono. Realna wartość mierzonej wielkości (której tak naprawdę nigdy nie poznamy) zaznaczona jest na czerwono.

Środek takiego przedziału \left<x \right> nazywamy wartością oczekiwaną, możemy o niej myśleć jak o najlepszym zgadnięciu (lub bardziej profesjonalnie estymacji) wartości x_0, natomiast połowę szerokości tego przedziału nazwiemy niepewnością pomiaru\Delta x. Wynik pomiaru (przedział) zapiszemy jako \left<x\right>\pm \Delta x

Źródła niepewności pomiaru

Zawsze staramy się aby niepewność naszego pomiaru była możliwie najmniejsza. Aby jednak móc skutecznie redukować niepewność pomiaru musimy wiedzieć jakie są jej źródła. Poznajmy zatem naszego wroga. Do głównych źródeł niepewności pomiaru zaliczamy:

przykład błędu systematycznego
Błąd systematyczny
  • Niedokładność narzędzi pomiarowych – nasze narzędzia, takie jak np. mierniki czy wagi, zawsze mają swoje granice dokładności. Im lepsze narzędzie tym mniejsza niedokładność.
  • Błąd pomiaru spowodowany niedoskonałością operatora, np. nieprecyzyjne odczytywanie wyniku z narzędzia czy niezerowy czas reakcji.
  • Błąd losowy – np. drgania urządzenia powodujące niepewność w wyniku
  • Błąd systematyczny – np. pomiar dokonywany zawsze z jednej strony, co powoduje błędne wyniki.
przykład nieprecyzyjnych urządzeń pomiarowych
Nieprecyzyjne urządzenia pomiarowe
  • Zmiana warunków podczas pomiaru – np. wpływ temperatury na wynik pomiaru.
  • Zbyt wyidealizowany model teoretyczny – np. błąd wynikający z przybliżenia małych kątów lub zaniedbania oporów powietrza
  • Nieprecyzyjne urządzenia pomiarowe
  • Omyłkowe zapisanie wyniku – np. przypadkowe przepisanie liczby.

Uff! Sporo tych wrogów mamy na drodze do otrzymania jak najdokładniejszego wyniku. Mam jednak dobrą wiadomość. Nie musimy analizować każdego źródła niepewności oddzielnie. Możemy je zaklasyfikować do dwóch kategorii – niepewności pomiaru typu A i typu B. Każda z nich będzie miała swój własny opis matematyczny.

Niepewności pomiaru typu A i B

Niepewność pomiaru typu A

Niepewność pomiarowa typu A to Błąd statystyczny, czyli błąd wynikający z czynników losowych – takich jak drgania układu, losowe zmiany temperatury czy szum elektromagnetyczny (bardzo problematyczny przy precyzyjnych pomiarach elektrycznych). Pojawia się on, gdy wiele pomiarów jednej wielkości prowadzi do różnych wyników, bez zmiany układu.

Na szczęście mamy świetne narzędzie matematyczne, aby opisać taki błąd. Wartość niepewności typu A (statystycznej) możemy wyznaczyć za pomocą odchylenia standardowego:

To co nam zostaje po uwzględnieniu niepewności statystycznej to:

    \[\Delta x_a =\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n (\left<x\right> -x_i)^2}{n(n-1)}}\]


gdzie n to ilość pomiarów, x_i to wynik każdego z pomiarów, natomiast \left to średnia arytmetyczna z wyników pomiarów.

Właśnie w przedziale [\left-\sigma, \left+\sigma] mieści się ~67\% zmierzonych wyników.

Jeszcze lepsza wiadomość – Niepewność pomiarową typu A możemy redukować do dowolnie małych wartości. Ale musimy za to zapłacić surową cenę. Błąd typu A male wraz z ilością pomiarów n

    \[\sigma \approx \frac{1}{\sqrt(n)}\]


Oznacza to że jeśli chcesz uzyskać 10 razy dokładniejszy wynik to nie ma najmniejszego problemu “wystarczy” że zrobisz 100 razy więcej pomiarów.

Niepewność pomiaru typu B

Niepewność pomiarowa tybu B jest błędem systematycznym. Błąd systematyczny możemy formalnie zdefiniować jako różnica między średnią arytmetyczną nieskończonej liczby pomiarów tej samej wielkości mierzonej. Czyli mówiąc po ludzku błąd systematyczny to cały błąd który zostaje po wyeliminowaniu błędu statystycznego.

Precyzyjny opis matematyczny błędu systematycznego jest dużo bardziej skomplikowany. Ponieważ na błąd systematyczny składa się wiele różnych przypadków podzielmy go sobie na trzy oddzielne kategorie: Dokładności przyrządów pomiarowych, niepewność eksperymentatora oraz inne błędy systematyczne.

Błąd typu B – Dokładności przyrządów pomiarowych

To jeden z bardziej znanych błędów który intuicyjnie możemy nazwać niepewnością podziałki. Wynika on ze skończonej rozdzielczości przyrządu pomiarowego.

przykład popełnienia błędu typu B podczas pomiarów

Ze względu na rozmiar podziałki 1mm linijka może nie być najlepszym wyborem przy pomiarze grubości włosa 0.07\pm 0.01 mm. Jednak gdy spróbujemy zmierzyć linijką coś innego np. grubość telefonu zobaczymy że 100% wyników pomiaru wskaże nam tę samą wartość – 9mm, 9mm, 9mm, … – to oczywiście nie znaczy że wszystkie pomiary były identyczne. Różniły się ale o tak mało że linijka nie była w stanie tego wyłapać.

przykład błędu typu B

Jeśli powiedzielibyśmy że nasz wynik to (9\pm1)mm to będziemy mieli pewność że 100% pomiarów zmieści się w tym zakresie. Ale my nie chcieliśmy w taki sposób definiować niepewności. Nam w zupełności wystarczyło aby w przedziale niepewności znajdowało się \approx 67\% wyników pomiarów. Jak więc poprawnie zapisać wynik? – Wystarczy podzielić szerokość podziałki przez \sqrt{3}. Czyli ostateczny wynik to:

    \[\left(9\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\right)mm\approx \left(9.0\pm 0.6 \right)mm\]

Ponieważ nie wiemy jak dokładnie rozłożone są pomiary ze względu na rozmiar podziałki to jest to najlepsze co możemy zrobić.

Szczególną uwagę chciałbym zwrócić na niepewność pomiarową mierników elektronicznych. Jeśli ustawisz woltomierz na zakres 200V i zobaczysz że najmniejszą wskazywaną liczbą jest 0.1V to wbrew logice nie jest ona szerokością przedziałki!

miernik elektryczny

niepewność miernika

Dla mierników elektronicznych niepewność odczytujemy zawsze z instrukcji! W przypadku tego miernika w instrukcji możemy znaleźć informację że niepewność w zakresie 200V to 5*[wartość najmniej znaczącej cyfry] + 0.3% zmierzonej wartości.

Gdybyśmy przykładowo zmierzyli napięcie równe 80V to niepewność wyniosła by:
5\cdot 0.1V+80V \cdot 0.3\%=0.74\approx 0.7 i końcowy wynik wyniesie:

    \[U\approx 80.0 \pm 0.7\]

– Ponad 12 Razy !!! więcej niż spodziewane na początku \frac{0.1V}{\sqrt{3}}\approx 0.06.

Więcej o niepewnościach pomiaru miernikami elektrycznymi znajdziesz tutaj


Niepewność pomiaru na olimpiadzie fizycznej

Pisząc Etap doświadczalny Olimpiady Fizycznej jeśli dostaniesz miernik elektroniczny to szanse że w zestawie dostaniesz instrukcję obsługi za znikome. (zgodnie z moją wiedzą instrukcje nigdy nie zostały rozdane) – więc nie będziesz w stanie określić tego błędu.


Błąd typu B – niepewność eksperymentatora

W pewnym sensie eksperymentator również jest urządzeniem pomiarowym. W związku z tym powinniśmy stosować w odniesieniu do niego podobne zasady do opisanych powyżej. Pojawia się jednak pewien problem. Ludzie nie mają dobrze zdefiniowanej podziałki. 

Ten problem rozwiązujemy samoświadomością i umiejętnością szacowania.

Jeśli przykładowo mierzymy czas, niepewnością eksperymentatora będzie czas reakcji (kliknięcia start i stop). Średni czas reakcji człowieka to 0.25s (to znacznie więcej niż szerokość przedziałki standardowego stopera 0.01s). Na tej stronie sprawdzisz własny czas reakcji!

średni czas reakcji 276ms
Mój wyszedł bliski średniej (ale muszę przyznać że była to moja druga próba)

Jeśli linijką mierzymy nierówną powierzchnię i  mamy poczucie że nasze pomiary mijają się z rzeczywistością na ok. 2mm to jako uczciwi doświadczalnicy powinniśmy to uwzględnić w obliczeniach!

Jak widzisz więc niepewność eksperymentatora jest bardzo uznaniowa. Nie jesteśmy w stanie jej policzyć możemy ją tylko oszacować.

Błąd typu B – Inne niepewności systematyczne

Pozostają do omówienia wszystkie pozostałe błędy to znaczy błędy wynikające z:

  • Przybliżeń w modelu teoretycznym zjawiska (np. przybliżenie małych kątów)
  • Zaniedbania istotnych zjawisk fizycznych (np. nagrzewanie się układu bądź opory ruchu)

Czyli wszystkich efektów które będą zmieniały wyniki pomiarów w jednym konkretnym kierunku (będą go zaniżały lub zawyżały).

Z tego typu błędami matematycznie nic nie da się zrobić. Należy zatem robić wszystko aby ich uniknąć na etapie planowania doświadczenia.

schemat pomiaru ciepła właściwego wody

Niepewność pomiaru na Olimpiadzie Fizycznej

Podczas Etapu doświadczalnego olimpiady Fizycznej może się zdarzyć że będziemy w stanie wyeliminować jakiś błąd systematyczny, ale innym razem, ze względu na bardzo ograniczone zasoby możemy nie być w stanie tego zrobić. W takiej sytuacji pod koniec raportu koniecznie należy napisać że jest się świadomym obecności takiego błędu i niestety nie udało się go wyeliminować.


Sztandarowym przykładem takiego błędu będzie zaniedbanie strat ciepła podczas pomiaru ciepła właściwego wody.

Szczegółowy przebieg takiego doświadczenia możecie zobaczyć tutaj:

Autorom tego doświadczenia wyszło c_w=4960 \frac{J}{Kg\cdot K}, choć dobrze wiemy że powinno wyjść 4200\frac{J}{Kg\cdot K}, błąd ten wynika z założenia że całe ciepło wygenerowane przez grzałkę trafiło do cieczy i żadne ciepło z niej nie uciekło. Takie założenie jest błędem systematycznym.

Całkowity błąd pomiaru

Całkiem sporo tego. Zastanówmy się jak to wszystko połączyć? Kiedy już udało nam się policzyć wszystkie niepewności pomiarowe:

  • \Delta x_a=\sigmaniepewność typu A (statystyczna)
  • \Delta x_{bi}niepewność typu B związana z niedokładnością instrumentu pomiarowego
  • \Delta x_{be}niepewność typu B związana z niedokładnością eksperymentatora

To możemy obliczyć niepewność całkowitą pomiaru – \Delta x:

    \[\Delta x=\sqrt{\Delta x_a^2+\Delta x_{bi}^2+\Delta x_{be}^2}\]

Jak mierzyć niepewność pomiarową – przykład

Rozważmy pomiar okresu drgań wahadła. Akurat tak się składa że mamy stoper którego najmniejszą przedziałką jest 1s.

schemat wachadła

Aby zmniejszyć niepewność pomiaru systematycznego (np. czasu reakcji) zmierzymy czas nie jednego okresu ale dziesięciu okresów. Natomiast aby zmniejszyć niepewność pomiaru statystycznego dokonamy pięciu pomiarów.

tabela pomiarów dziesięciu okresów wachadła 1=39, 2=41, 3=40, 4=40, 5=38

Otrzymujemy takie wyniki. Co teraz?

  1. Liczymy wartość oczekiwaną okresu ( średnią arytmetyczną wyników pomiarów)

        \[\left<x\right>=39.6s\]

  2. Liczymy niepewność statystyczną

        \[\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \left<x\right>)^2}{n(n-1)}}=0.51s\]

  3. Określamy niepewność przyrządu pomiarowego:
    Szerokość najmniejszej podziałki stopera to 1s zatem niepewność przyrządu pomiarowego to \frac{1s}{\sqrt{3}}\approx 0.58s
  4. Określamy niepewność eksperymentatora:
    Czas reakcji człowieka to ok. 0.25s, musimy zareagować włączając stoper oraz wyłączając zatem sumaryczny czas reakcji to \frac{2\cdot 0.25s}{\sqrt{3}}\approx 0.29s
  5. Liczymy całkowitą niepewność pomiarową

        \[\Delta x = \sqrt{\sigma^2+\Delta x_{bi}^2+\Delta x_{be}^2} \approx \sqrt{\left(0.51\right)^2+\left(0.58\right)^2+\left(0.29\right)^2}\approx 0.82s\]

  6. Zapisujemy wynik 10T=39.60\p0.82 dzielimy wynik przez dziesięć i w końcu możemy zapisać

    \[T=(3.96\pm 0.082)s \approx (3.96\pm 0.08)s\]

. Dokładność do ośmiu setnych sekundy – całkiem nieźle jak na pomiar tak nie dokładnym przyrządem pomiarowym.

Skoro udało nam się otrzymać wynik to czy to oznacza koniec naszych męk z wyznaczaniem niedokładności pomiaru? To dopiero początek! Tak naprawdę najciekawsze przed nami

Wyznaczanie niepewności złożonej

Bardzo często zdarza się że chcemy zmierzyć jakąś wielkość nie bezpośrednio. Przykładowo wyznaczony w poprzednim akapicie okres mógłby nam posłużyć do wyznaczenia przyspieszenia grawitacyjnego zgodnie ze wzorem

    \[g=\frac{4 \pi^2 l}{ T}\]

Załóżmy że udało nam się zmierzyć długość wahadła i wyszło nam (1.01\pm 0.02)m wartość przyspieszenia grawitacyjnego wyjdzie 

g=10.0869\frac{m}{s^2}, jednak jak już dobrze wiemy sama ta liczba nic nie znaczy – nie jest to wynik pomiaru. Musimy jeszcze znaleźć niepewność przyspieszenia grawitacyjnego i tutaj przychodzi nam na ratunek wzór na niepewność złożoną zwany również wzorem na propagację niepewności. Mówi on nam że jeśli mamy jakąś funkcję f(x,y,z,...) której argumentami są zmienne obarczone niepewnościami to niepewność wartości funkcji wyraża się wzorem:

    \[\Delta f = \sqrt{(\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x)^2 + (\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y)^2 + (\frac{\partial f}{\partial z}\Delta z)^2 + \dots}\]

Symbolu frac{\partial f}{\partial x} absolutnie nie należy się bać oznacza on po prostu pochodną funkcji f po x traktując pozostałe argumenty y,z jako stałe.

Stosując powyższe wyrażenie do wzoru na przyspieszenie grawitacyjne otrzymujemy 

    \[\frac{\partial g}{\partial l} \Delta l= \frac{4 \pi^2}{T}\Delta l=0.19 \frac{m}{s^2}\]

    \[\frac{\partial g}{\partial T} \Delta T = -\frac{4 \pi^2 l}{T^2} \Delta T =0.20 \frac{m}{s^2}\]

Zwróć uwagę proszę że te dwa wyrażenia powyżej mogą posłużyć do określenia, niepewności których pomiarów, najbardziej przyczyniły się do niepewności g.  W naszym przypadku widać że obie wartości T i l przyczyniły się do niepewności g niemal w identyczny sposób, z lekką przewagą T.

Liczymy niepewność przyspieszenia grawitacyjnego:

    \[\Delta g = \sqrt{0.2^2+0.2^2}\approx 0.28\frac{m}{s^2}\]


Ostateczny wynik pomiaru przyspieszenie ziemskiego to g=(10.0869\pm0.28)\frac{m}{s^2}Sukces! I co najważniejsze realna wartość przyspieszenia grawitacyjnego mieści się w przedziale tego wyniku.

Wzór na propagację niepewności pomiarowej bez pochodnych

Jeśli nie lubisz pochodnych to w tym rozdziale pokażę ci jak pożyczyć niepewność złożoną funkcji f(x,y,z) gdzie x,y,zargumentami obarczonymi niepewnością. Policzmy najpierw niepewności pochodzące od każdej z niewiadomych

    \[u_x=\frac{1}{2}\left[f(x+\Delta x,y,z)-f(x-\Delta x,y,z)\right]\]

    \[u_y=\frac{1}{2}\left[f(x,y+\Delta y,z)-f(x,y-\Delta y,z)\right]\]

    \[u_z=\frac{1}{2}\left[f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z-+\Delta z)\right]\]

każda z tych wielkość mówi jak duży wkład do niepewności końcowej \Delta f mają niepewności każdej ze zmiennych. Ostateczny wzór na niepewność całkowitą funkcji f to

    \[\Delta f(x,y,z)=\sqrt{u_x^2+u_y^2+u_z^2}\]

Porównywanie pomiarów- Który pomiar jest lepszy?

Zanim skończymy tą szaloną wycieczkę po świecie niepewności pomiarowych pozostaje nam jeszcze odpowiedź na jedno pytanie. Jak ocenić jakość pomiarów? Który pomiar nazwiemy dokładnym a który niedokładnym? Jak moglibyśmy porównać nasz pomiar okresu drgań wahadła T=(3.96\pm 0.08)s z pomiarem promienia Ziemi R_z=(6378 \pm 100)m:. Nie możemy porównać 100m z 0.08s ponieważ te wielkości mają zupełnie różne jednostki. Możemy natomiast obliczyć niepewność względną 

    \[\delta x=\frac{\Delta x}{x}\]

Z niepewności względnej dowiadujemy na ile procent możemy być pewni naszego wyniku. Przykładowo niepewność względna wyznaczenia okresu to  \frac{\Delta T}{T}\approx 2%, czyli udało nam się wyznaczyć okres drgań wahadła z dokładnością do 2%. Niepewność względna pomiaru promienia ziemii wynosi \frac{\Delta R_z}{R_z}\approx 1.6%, czyli pomiar promienia ziemi był dokładniejszy od pomiaru okresu drgań wahadła! Na marginesie potrafimy wyznaczyć równikowy promień ziemi z dużo większą dokładnością R_z=(6378136.62 \pm 0.10)mto dokładność do jednej milionowej procenta!Tutaj znajdziecie źródło

Skoro \delta x=\frac{\Delta x}{x} nazwaliśmy niepewnością względną to jak pewnie się domyślasz \Delta x będziemy nazywać niepewnością bezwzględną.

Mapa niepewności pomiarowej

Ponieważ poruszyliśmy wiele tematów z zakresu niepewności pomiarowych aby uporządkować nieco omówioną wiedzę zamieszczam poniżej “mapę niepewności pomiarowych”. Możesz ją pobrać i zachować na ciężkie czasy przeprowadzania doświadczeń.

Najpotężniejsza metoda opracowywania niepewności pomiarowych

To już koniec kursu “Jak profesjonalnie wyznaczać niepewności pomiarowe?”. Omówiliśmy najważniejsze zagadnienia takie jak błąd typu A i B, źródła błędów pomiarowych oraz metody liczenia niepewności pomiarowych. Nie wspomniałem o najpotężniejszej metodzie opracowania wyników doświadczeń jaką jest metoda dopasowywania krzywej do punktów pomiarowych. Na ten temat z całą pewnością pojawi się oddzielny artykuł.


Niepewność pomiarowa na Olimpiadzie Fizycznej

Zadania doświadczalnym na Olimpiadzie Fizycznej chciałbym poświęcić nieco więcej uwagi. 

Komisja Olimpijska w ocenie analizy niepewności w zadaniach doświadczalnych kieruje się Rekomendacjami Polskiego Towarzystwa Fizycznego – jeśli zatem chcesz mieć absolutną pewność że wiesz wszystko co jest potrzebne do zdobycia maksymalnej ilości punktów na olimpiadzie, koniecznie odwiedź ich stronę. Znajdziesz tam również dużo szybsze, przybliżone metody obliczania niepewności pomiarowej 🙂 , a jak wiadomo czas na olimpiadzie fizycznej jest na wagę złota.

Najważniejszą metodą obróbki danych doświadczalnych na olimpiadzie fizycznej jest „Metoda najmniejszych kwadratów na oko” zwana również „metodą graficzną” lub “metodą wykresu”. Zgrubnie szacując mogę powiedzieć że ponad 80% zadań olimpijskich wymaga wykorzystania tej metody. Ponieważ jest to bardzo ważne zagadnienie w przyszłości na tej stronie pojawi się cały artykuł dedykowany właśnie tej metodzie.


Podsumowanie

Dochodzimy do samego końca i tutaj chciałbym napisać kilka najważniejszych wniosków z artykułu:

Czym jest wynik pomiaru?

Wynik pomiaru to przedział w którym najprawdopodobniej znajduje się rzeczywista wartość mierzonej wielkości. Standardowym zapisem wyniku pomiaru jest x\pm \Delta x. Gdzie x to wartość oczekiwana a \Delta x to niepewność pomiaru.

Jakie są główne źródła błędu pomiaru?

Niedokładność narzędzi pomiarowych, błąd operatora (eksperymentatora), Błąd losowy, Zbyt wyidealizowany model teoretyczny,  Nieprecyzyjne urządzenia pomiarowe

Czym jest błąd typu A?

Błąd typu A to Błąd statystyczny, czyli błąd wynikający z czynników losowych – takich jak drgania układu, losowe zmiany temperatury czy szum elektromagnetyczny (bardzo problematyczny przy precyzyjnych pomiarach elektrycznych). Pojawia się on, gdy wiele pomiarów jednej wielkości prowadzi do różnych wyników, bez zmiany układu. 

Błąd typu A liczymy za pomocą odchylenia standardowego

    \[\Delta x_a =\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n (\left<x\right>-x_i)^2}{n(n-1)}}\]

Czym jest błąd typu B?

Błąd typu B jest błędem systematycznym. Błąd systematyczny możemy formalnie zdefiniować jako różnica między średnią arytmetyczną nieskończonej liczby pomiarów tej samej wielkości mierzonej. Czyli mówiąc po ludzku błąd systematyczny to cały błąd który zostaje po wyeliminowaniu błędu statystycznego

Jaka jest niepewność pomiarowa woltomierza/amperomierza?

Niepewnością pomiarową nie jest szerokość najmniejszej podziałki. Dla mierników elektronicznych niepewność odczytujemy zawsze z instrukcji! 

Jak liczyć całkowity błąd pomiaru?

Całkowitą niepewność pomiaru liczymy ze wzoru:

    \[\Delta x=\sqrt{\Delta x_a^2+\Delta x_{bi}^2+\Delta x_{be}^2}\]

Gdzie:

  • \Delta x_a=\sigma – niepewność typu A (statystyczna) 
  • \Delta x_{bi} – niepewność typu B związana z niedokładnością instrumentu pomiarowego
  • \Delta x_{be} – niepewność typu B związana z niedokładnością eksperymentatora

Jak wyznaczyć niepewność złożoną pomiaru? 

Do wyznaczenia niepewności funkcji f(x,y,z...) gdzie x, y i z są parametrami wyznaczonymi z niepewnościami odpowiednio \Delta x, \Delta y, \Delta z  wykorzystujemy wzór na propagację niepewności

    \[\Delta f = \sqrt{(\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x)^2 + (\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y)^2 + (\frac{\partial f}{\partial z}\Delta z)^2 +\dots}\]

Jak wyznaczyć niepewność złożoną pomiaru bez pochodnych?

Aby wyznaczyć niepewność złożoną funkcji f(x,y,z,...) gdzie x,y,z są argumentami obarczonymi niepewnością liczymy najpierw niepewności cząstkowe:

    \[u_x=\frac{1}{2}\left[f(x+\Delta x,y,z)-f(x-\Delta x,y,z)\right]\]

    \[u_y=\frac{1}{2}\left[f(x,y+\Delta y,z)-f(x,y-\Delta y,z)\right]\]

    \[u_z=\frac{1}{2}\left[f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z-+\Delta z)\right]\]

 

a następnie wstawiamy je do wzoru na całkowitą niepewność funkcji:

    \[\Delta f(x,y,z)=\sqrt{u_x^2+u_y^2+u_z^2}\]

Czym jest niepewność względna?

Niepewność względna to iloraz niepewności bezwzględnej \Delta x oraz wartości oczekiwanej wyniku x. Informuje nas o tym o ile procent otrzymany wynik może różnić się od rzeczywistego wyniku. Umożliwia porównanie różnych pomiarów.

Mam nadzieję, że teraz już dokładnie wiesz czym jest niepewność pomiarowa i jak sobie z nią poradzić! Jeśli jednak wciąż masz wątpliwości, napisz do nas lub zapisz się na zajęcia, z przyjemnością Ci pomożemy! Sprawdź ofertę Fizyki Olimpijskiej! Jeśli natomiast masz jakieś pytania, wątpliwości uwagi lub sugestie dotyczące tego lub przyszłych artykułów koniecznie daj mi o nich znać w komentarzu. 🙂

0 0 votes
Article Rating
Subscribe
Powiadom o
guest
0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments