Fizyka manewrów samochodowych - 73 Olimpiada Fizyczna

Chciałbym pokazać Ci rozwiązanie zadania T2 z I etapu 73 Olimpiady Fizycznej z 2023 roku. Jest to bardzo ciekawe zadanie, które na pozór mogło wydawać się bardzo skomplikowane. Jednak po zauważeniu analogi między opisanym problemem a pewnym innym popularnym zjawiskiem stawało się bardzo proste. Ponadto zadanie to wprowadzało mało popularne w liceum pojęcie promienia krzywizny – rozwiązanie zadania T2 z 73 Olimpiady Fizycznej będzie świetnym pretekstem do bardziej szczegółowego omówienia tego pojęcia. 🙂 Przejdźmy do treści:

Treść zadania T2 z 73 Olimpiady Fizycznej:

Samochód jedzie po płaskim, poziomym nabrzeżu z prędkością $v$ zbliżając się do wody, przy czym kierunek prędkości tworzy z normalną do prostej krawędzi nabrzeża kąt $\alpha$ . Współczynnik tarcia kół samochodu o podłoże wynosi $f$ . Kierowca może skręcać kierownicą (co określa promień skrętu samochodu, czyli promień okręgu, po którym poruszałby się samochód, gdyby ustawienie kierownicy pozostało niezmienione), korzystać z hamulców oraz z pedału przyspieszenia. Może też użyć biegu wstecznego. Opisz, jakie manewry powinien wykonywać kierowca, aby jak najmniej zbliżyć się do wody. Wyznacz najmniejszą odległość od krawędzi nabrzeża, przy której musi on zacząć wykonywać te manewry, by nie spaść z tej krawędzi. Wyznacz też promień skrętu samochodu w chwili rozpoczęcia wspomnianych manewrów, oraz promień skrętu samochodu tuż przed maksymalnym zbliżeniem się do wody (jeśli samochód w którymś z tych przypadków ma poruszać się po prostej, jawnie to napisz). Przyspieszenie ziemskie jest równe $g$ . Pomiń rozmiary liniowe samochodu i przyjmij, że promień skrętu może być dowolnie mały. Uwzględnij, że samochód nie powinien wpaść w poślizg.
Treść zadania zaczerpnięta z Archiwum zadań KGOF

Wstępna analiza zadania

Zadanie standardowo rozpoczniemy od rysunku przedstawiającego sytuację opisaną w treści zadania

Zadanie z samochodem T2 Olimpiada Fizyczna 2023

Wprowadziliśmy również układ współrzędnych w którym oś $x$ jest równoległa do brzegu natomiast oś $y$ prostopadła

Ponieważ naszym celem jest jak najszybsze wytracenie prędkości w kierunku brzegu (składowej $y$ -kowej prędkości) chcemy mieć możliwie duże przyspieszenie w kierunku $y$ o zwrocie przeciwnym do osi $y$ . Jednak maksymalne przyspieszenie jakie możemy osiągnąć jest ograniczone maksymalną wartością tarcia statycznego (zgodnie z treścią zadania nie możemy wpaść w poślizg).

Optymalny tor ruchu samochodu

Maksymalna wartość siły tarcia statycznego może być zapisana jako:

$T = \mu m g$

Optymalnym manewrem będzie takie wykorzystanie hamulca i kierownicy aby siła tarcia była cały czas skierowana przeciwnie do osi $y$ i miała maksymalną wartość.

Samochód jedzie po nabrzeżu z prędkością v zbliżając się do wody - Zadanie T2 Olimpiada Fizyczna 2023

Na rysunku możemy dostrzec wizualne podobieństwo do dobrze znanego rzutu ukośnego. Pojazd w osi $x$ porusza się ruchem jednostajnie prostoliniowym natomiast w osi $y$ działa na niego siła o stałej wartości. Która zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona $T=m a$ nadaje mu przyspieszenie $a=fg$ . Równania ruchu pojazdu możemy zatem zapisać w dobrze znanej nam postaci:

$x(t) = v_0 t \cdot \sin\alpha$

$y(t) = v_0 t \cdot \cos \alpha - \frac{1}{2} fg t^2$

Z górnego równania możemy wyznaczyć czas w zależności od położenia. Pomoże nam to w wyznaczeniu trajektorii ruchu:

$t(x) = \frac{x}{v_0 \sin \alpha}$

Prędkości ciała w obu kierunkach to:

$v_x(t) = v_0 \cdot \sin \alpha$

$v_y(t) = v_0 \cdot \cos \alpha - fg t$

Powyżej założyliśmy że początkowe położenie pojazdu to $(0,0)$ . Równania ruchu pozwolą nam wyznaczyć trajektorię, która oczywiście będzie parabolą:

$y(x) = x \cot \alpha - x^2 \frac{fg}{2v_0^2\sin^2\alpha}$

Moment w którym możemy zakończyć manewr czyli moment wyzerowania $y$ -kowej składowej prędkości odpowiada wierzchołkowi paraboli, który możemy który powinien znajdować się dokładnie pośrodku miejsc zerowych paraboli. Współrzędne wierzchołka paraboli $(x_w,y_w)$ prezentują się następująco

$y(x) = x \left( \cot \alpha - x \frac{fg}{2v_0^2\sin^2\alpha} \right)$

$x_{w} = \frac{0+\frac{2 v_0^2\cos \alpha \sin \alpha}{fg}}{2} = \frac{2 v_0^2\cos \alpha \sin \alpha}{2fg}= \frac{ v_0^2\sin 2\alpha}{2fg}$

$y_{w} = y(x_{w}) = \frac{v_0^2 \cos^2\alpha}{2fg}$

Czas od rozpoczęcia manewru do jego zakończenia możemy wyznaczyć ze wzoru $t(x)$

$t(x_{w})=\frac{x_{w}}{v_0 \sin \alpha}$

$t(x_{w}) = \frac{ v_0\cos \alpha}{fg}$

Oznacza to że od momentu rozpoczęcia manewru pojazd zbliży się do brzegu o $d = \frac{v_0^2 \cos^2\alpha}{2fg}$ . Czas manewru to $\frac{ v_0\cos \alpha}{fg}$ . Pozostaje nam odpowiedzieć na najciekawszą część zadania czyli na pytanie dotyczące promienia krzywizny.

Promień krzywizny

Do każdego punktu trajektorii możemy dopasować 'okrąg styczny’ to znaczy okrąg który styka się z trajektorią w jednym punkcie i możliwie najlepiej pasuje do otoczenia tego punktu. Możemy myśleć że w bezpośrednim otoczeniu wspomnianego punktu ciało zachowuje się zupełnie tak jakby poruszało się po okręgu. Promień wspomnianego okręgu to właśnie promień krzywizny trajektorii w danym punkcie

Rozwiązanie zadania T2 - 73 Olimpiada Fizyczna

Taki okrąg możemy dopasować do każdego punktu trajektorii. Im 'ostrzejszy zakręt’ widzimy w danym miejscu trajektorii tym mniejszy będzie promień krzywizny okręgu najlepszego dopasowania. Im prostsza trajektoria tym większy promień krzywizny. W skrajnym przypadku trajektorii będącej linią prostą okrąg najlepszego dopasowania będzie miał nieskończony promień $R=\infty$

Rozkładając przyspieszenie ciała w danym punkcie na dwie składowe – styczną do toru ruchu oraz prostopadłą do niego – możemy sprawdzić jaka część przyspieszenia odpowiada za zmianę wartości prędkości a jaka część jest przyspieszeniem dośrodkowym i odpowiada za utrzymanie ciała na 'chwilowym okręgu’. Składowa styczna może być wyrażona jako zmiana wartości prędkości w czasie $a_s=\frac{dv}{dt}$ , natomiast składowa normalna (dośrodkowa) wyraża się dobrze nam znanym wzorem $a_d=\frac{v^2}{r}$ gdzie $r$ to właśnie promień krzywizny (promień okręgu po którym właśnie się poruszamy)! 😀

Wyznaczenie promienia krzywizny trajektorii

Aby wyznaczyć promień krzywizny skorzystamy ze wzoru na przyspieszenie dośrodkowe $a_d=\frac{v^2}{r}$ . Zanim jednak to zrobimy musimy wyznaczyć wartość prędkości w każdym momencie ruchu:

$v=\sqrt{v_x^2+v_y^2} = \sqrt{ \left( v_0 \cdot \sin \alpha \right)^2 + \left( v_0 \cdot \cos \alpha - fg t \right)^2 }$

$v =\sqrt{ v_0^2 + (fgt)^2 - 2fgt v_0 \cos\alpha }$

Pozostaje nam jeszcze do wyznaczenia zależność przyspieszenia dośrodkowego od czasu. Rozkładając przyspieszenie i prędkości w dowolnej chwili na składowe możemy możemy dostrzec podobieństwo między trójkątami powstałymi z wektorów prędkości i przyspieszenia (oznaczone na rysunku kąty są przystające). Podobieństwo to pozwala nam zapisać $\frac{v_x}{v(t)}=\frac{a_d(t)}{a}}$ co prowadzi nas do wniosku że $a_d(t)=\frac{gfv_0\sin\alpha}{v(t)}$

Rysunek przedstawiający kierunki działania przyspieszeń na samochód - Zadanie T2 Olimpiada Fizyczna

Zapiszemy zatem wzór na promień krzywizny od czasu jako:

$r(t) = \frac{v(t)^2}{a_d(t)}=\frac{v^3(t)}{fgv_0 \sin\alpha}$

$r(t) =\frac{ \left( v_0^2 + (fgt)^2 - 2fgt v_0 \cos\alpha \right)^{3/2} }{fgv_0 \sin\alpha}$

Promień krzywizny w chwili początkowej wyniesie zatem

$r(0) =\frac{ v_0^3 }{fgv_0 \sin\alpha}= \frac{ v_0^2 }{fg \sin\alpha}$

Natomiast pod koniec manewru promień krzywizny wyniesie

$r(t_w) =\frac{ \left( v_0^2 + (fgt_w)^2 - 2fgt_w v_0 \cos\alpha \right)^{3/2} }{fgv_0 \sin\alpha}$

$r(t_w) = \frac{ \left( v_0^2 + v_0^2 \cos^2\alpha - 2v_0^2 \cos^2\alpha \right)^{3/2} }{fgv_0 \sin\alpha}$

$r(t_w) = \frac{ v_0^2 \sin^{2}\alpha }{fg }$

Odpowiedź do zadania T2 z 73 Olimpiady Fizycznej

Optymalny manewr potrwa $\frac{ v_0\cos \alpha}{fg}$ . Minimalna odległość z jakiej manewr może się rozpocząć to $\frac{v_0^2 \cos^2\alpha}{2fg}$ . Trajektoria po której porusza się pojazd to parabola dana równaniem $y(x) = x \left( \cot \alpha - x \frac{fg}{2v_0^2\sin^2\alpha} \right)$ . Początkowy promień krzywizny to $\frac{ v_0^2 }{fg \sin\alpha}$ , końcowy natomiast to $\frac{ v_0^2 \sin^{2}\alpha }{fg}$ .

Opis manewru ludzkimi słowami

Zakładając że początkowy kąt pod jakim skierowana jest prędkość to $\alpha$ (w prawo). Początkowo kierowca powinien silnie hamować i lekko skręcać w prawo. Wraz z upływem czasu kierowca powinien powoli ściągać nogę z hamulca jednocześnie przekręcając kierownicę coraz bardziej w prawo.

Podsumowanie zadania T2 z 73 Olimpiady Fizycznej

To zadanie które pojawiło się na 73 Olimpiadzie Fizycznej jest bardzo ciekawe i niestandardowe. Wymagano od uczestników wskazania optymalnej strategii umożliwiającej nam osiągnięcie pewnego celu – nie wpadnięcia do wody. Zadania opisujące fizykę hamowania czy skręcania samochodów zdarzały się wcześniej. Do przykładów należą

68 Olimpiada Fizyczna etap. II zadanie 1 – Praca i moc zużyta podczas skręcania pojazdu
5 5 Olimpiada Fizyczna etap. II zadanie 2 – Fizyka przyspieszania i hamowania pojazdu
57 Olimpiada Fizyczna etap. I zadanie 9 – Fizyka hamowania pojazdu

Ten artykuł został stworzony przez Tutorów udzielających korepetycji olimpijskich – są to korepetycje w ramach których przygotowujemy pasjonatów fizyki do udziału w olimpiadzie fizycznej. Zapraszam cię do zapoznania się z ofertą korepetycji do olimpiady fizycznej. Zachęcam cię również do zostawienia komentarza jeśli masz jakieś pytania, przemyślenia, bądź uważasz że powinniśmy rozbudować. zmodyfikować w jakiś sposób artykuł.

Mam nadzieję, że artykuł okazał się pomocny i pomógł ci w zrozumieniu jakie było poprawne rozwiązanie zadania T2 z 73 Olimpiady Fizycznej oraz w wyrobieniu intuicji na temat promienia krzywizny trajektorii.

Fizyka manewrów samochodowych – Rozwiązanie zadania T2 z I etapu 73 Olimpiady Fizycznej

Treść zadania T2 z 73 Olimpiady Fizycznej:

Wstępna analiza zadania

Optymalny tor ruchu samochodu

Promień krzywizny

Wyznaczenie promienia krzywizny trajektorii

Odpowiedź do zadania T2 z 73 Olimpiady Fizycznej

Opis manewru ludzkimi słowami

Podsumowanie zadania T2 z 73 Olimpiady Fizycznej

Fizyka z Pasją!

Korepetycje z Fizyki

O Fizyce Olimpijskiej

Bądź na bieżąco!